Понятие о случайной функции. Определение характеристик случайной функции из опыта

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

М.М. Гхашим, Т.В.Чернэуцану

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Учебное пособие

Утверждено

ученым советом института

Севастополь

Гхашим М.М., Т.В.Чернэуцану

Случайные функции: учеб.-метод. пособие. – Севастополь: СевГУ, 2015.

В данном пособии рассмотрены три основных раздела: « », « », « ». Каждый из разделов включает в себя основные вопросы теории, разбор типовых примеров, задания для самостоятельной работы с ответами к ним.

предназначено для студентов третьего курса при изучении темы « ».

Рецензенты:

к.ф.-м..,

к.т.н, доцент

нк.ф.-м.н доцент

© Издание СевГУ, 2015

§ 1. Понятие о случайной функции……………………………………

§ 2. Характеристики случайных функций……………………………

§ 3. Оператор динамической системы……………………………….

§ 4. Линейные преобразования случайных функций………………

§ 5. Стационарные случайные процессы ……………………

§ 6. Спектральное разложение стационарной случайной функции………

§ 7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций………….

Решение типовых задач………………………………………………..

Задачи для самостоятельного решения………………………………

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………

Случайные функции

Понятие о случайной функции.

В курсе теории вероятностей основным предметом исследования были случайные величины, которые характеризовались тем, что в результате опыта принимали некоторое одно, заранее неизвестное, но единственное значение. Т.е., случайные явления изучались как бы в «статике», в каких-то фиксированных постоянных условиях отдельного опыта. Однако на практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Например, угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения, и т.д. В принципе, любые системы с автоматизированным управлением предъявляют определенные требования к соответствующей теоретической базе – теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно действующих случайных возмущений или «помех». Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Итак:

Определение . Случайной функцией X (t ) называют функцию неслучайного аргумента t , которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией X (t ) в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Пример . Самолет на воздушном курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость V . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция V (t ) принимает определенную реализацию (Рис.1).

От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самописец, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других, реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции V (t ) (Рис.2).

На практике встречаются случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких, например, состояние атмосферы (температура, давление, ветер, осадки). В данном курсе мы будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой t . Кроме того, условимся обозначать случайные функции большими буквами (X (t ), Y (t ), …) в отличие от неслучайных функций (x (t ), y (t ), …).

Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t ). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций, которые мы обозначим соответственно номерам опытов x 1 (t ), x 2 (t ), …, x n (t ). Очевидно, каждая реализация есть обычная (не случайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t ) превращается в не случайную функцию.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t . В этом случае случайная функция X (t ) превратится в случайную величину.

Определение. Сечением случайной функции X (t ) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.

Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. В дальнейшем часто будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию X (t ) то как случайную функцию, то как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения t или при его фиксированном значении.

Рассмотрим случайную величину X (t ) – сечение случайной функции в момент t . Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t . Обозначим его f (x , t ). Функция f (x , t ) называется одномерным законом распределения случайной функции X (t ).

Очевидно, функция f (x , t ) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X (t ), т.к. она характеризует только закон распределения X (t ) для данного, хотя и произвольного t и не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X (t ) при различных t . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции X (t ) является так называемый двумерный закон распределения : f (x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). Это – закон распределения системы двух случайных величин X (t 1), X (t 2), т.е. двух произвольных сечений случайной функции X (t ). Но и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей. Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать все более полную характеристику случайной функции, но оперировать столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне затруднительно. В пределах данного курса мы вообще не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.

Предварительные замечания. Найдем изображение Фурье от d -функции.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование Фурье:

А также:

1. Пусть процесс представляет собой постоянную величину x(t)=A o . Как уже было выяснено ранее, корреляционная функция такого процесса равна Найдем спектральную плотность процесса путем прямого преобразования Фурье функции R(t):

Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат. Таким образом, если в процессе присутствует только одна частота w =0, то это значит, что вся мощность процесса сосредоточена на этой частоте, что и подтверждает вид функции S(w). Если случайная функция содержит постоянную составляющую, т.е. среднее значение , то S(w) будет иметь разрыв непрерывности в начале координат и будет характеризоваться наличием d -функции в точке w =0.

2. Для гармонической функции X=A o sin(w 0 t+j) корреляционная функция:

Спектральная плотность равна

График S(w) будет иметь два пика типа импульсной функции, расположенных симметрично относительно начала координат при w= +w 0 и w= -w 0 . Это говорит о том, что мощность процесса сосредоточена на двух частотах +w 0 и -w 0 .

Если случайная функция имеет гармонические составляющие, то спектральная плотность имеет разрывы непрерывности в точках w = ±w 0 и характеризуется наличием двух дельта-функций, расположенных в этих точках.

Белый шум . Под белым шумом понимают случайный процесс, имеющий одинаковые значения спектральной плотности на всех частотах от -¥ до +¥ : S(w ) = Const.

Примером такого процесса при определенных допущениях являются тепловые шумы, космическое излучение и др. Корреляционная функция такого процесса равна

Таким образом R(t) представляет собой импульсную функцию, расположенную в начале координат.

Этот процесс является чисто случайным процессом, т.к. при любом t ¹0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной функции. Процесс с такой спектральной плотностью является физически нереальным, т.к. ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:

Такому процессу соответствует бесконечно большая мощность и источник с бесконечно большой энергией.

2. Белый шум с ограниченной полосой частот. Такой процесс характеризуется спектральной плотностью вида

S(w)=C при ½w½ <w n ,

S(w) =0 при ½w½>w n .

где (-w n , w n) полоса частот для спектральной плотности.

Это такой случайный процесс, спектральная плотность которого остается практически постоянной в диапазоне частот, могущих оказать влияние на рассматриваемую систему управления, т.е. в диапазоне частот, пропускаемых системой. Вид кривой S (w ) вне этого диапазона не имеет значения, т.к. часть кривой, соответствующая высшим частотам, не окажет влияния на работу системы. Этому процессу соответствует корреляционная функция

Дисперсия процесса равна

5. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала принимают сигнал, график которого показан на рис.63. Скорость вращения задающего вала следящей системы сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени t 1 , t 2 ,...

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона. Математическое ожидание

Рис.63. Типовой сигнал

График такого вида получается в первом приближении при слежении РЛС за движущейся целью. Постоянные значения скорости соответствуют движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Пусть m -среднее число перемен скорости за 1 с. Тогда Т=1/m будет среднее значение интервалов времени, в течение которых угловая скорость сохраняет свое постоянное значение. Применительно к РЛС это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого значения могут быть два случая.

1. Моменты времени t и t+t относятся к одному интервалу. Тогда среднее произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

2. Моменты времениt и t+t относятся к разным интервалам. Тогда среднее произведения скоростей будет равно нулю, так как величины W(t) и W(t+t) для разных интервалов можно считать независимыми величинами:

Корреляционная функция равна:

где, Р 1 - вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале, а Р 2 =1- Р 1 вероятность нахождения их в разных интервалах.

Оценим величину Р 1 . Вероятность появления перемены скорости на малом интервале времени Dt пропорциональна этому интервалу и равна mDt или Dt/Т. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же интервала будет равна 1-Dt/Т. Для интервала времени t вероятность отсутствия перемены скорости т.е. вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале постоянной скорости будет равна произведению вероятности отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Dt, т.к. эти события независимые. Для конечного промежутка получаем, что число промежутков равно t/Dt и

Перейдя к пределу, получим

o Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, при этом заранее не известно, какой именно.

o Конкретный вид, принимаемый случайной величиной в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Т.к. на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную функцию иначе называют случайным процессом.

На рисунке изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса.

Если зафиксировать значение аргумента t, то случайная функция X(t) превратится в случайную величину, которую называют сечением случайной функции , соответствующим моменту времени t. Будем считать распределение сечения непрерывным. Тогда Х(t) при данном t определяется плотностью распределения p(x; t).

Очевидно, p(x; t) не является исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t), поскольку она не выражает зависимости между сечениями X(t) в разные моменты времени t. Более полную характеристику дает функция -совместная плотность распределения системы случайных величин , где t 1 и t 2 -произвольные значения аргумента t случайной функции. Еще более полную характеристику случайной функции X(t) даст совместимая плотность распределения системы трех случайных величин и т.д.

o Говорят, что случайный процесс имеет порядок n , если он полностью определяется плотностью совместимого распределения n произвольных сечений процесса, т.е. системы n случайных величин , где X(t i)-сечение процесса, отвечающее моменту времени t i , но не определяется заданием совместного распределения меньшего, чем n, числа сечений.

o Если плотность совместного распределения произвольных двух сечений процесса вполне его определяет, то такой процесс называется марковским.

Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описания ее с помощью одной или нескольких неслучайных характеристик. В качестве первой из них естественно взять функцию -математическое ожидание случайного процесса. В качестве второй берется среднее квадратическое отклонение случайного процесса .

Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из них-это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая характеризует возможный разброс реализаций случайной функции около средней траектории. Но и этих характеристик недостаточно. Важно знать зависимость величин X(t 1) и X(t 2). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционной функции или корреляционного момента.

Пусть имеются два случайных процесса, по нескольку реализаций которых изображено на рисунках.

У этих случайных процессов примерно одинаковые математические ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее это различные процессы. Всякая реализация для случайной функции X 1 (t) медленно меняет свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X 2 (t). У первого процесса зависимость между сечениями X 1 (t) и будет больше, чем зависимость для сечений X 2 (t) и второго процесса, т.е. убывает медленнее, чем , при увеличении Δt. Во втором случае процесс быстрее «забывает» свое прошлое.

Остановимся на свойствах корреляционной функции, которые вытекают из свойств корреляционного момента пары случайных величин.

Свойство 1. Свойство симметричности .

Свойство 2. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайное слагаемое , то от этого корреляционная функция не изменится, т.е. .

Действительно,

Свойство 3. , где -неслучайная функция.

Задание на курсовую работу

Дано: пять начальных моментов

а1 = 1, а2 = 2, а3 = 2, а4 = 1, а5 = 1 (µ г = 0, µ 0 = 1).

Найти: пять центральных моментов.

Имея в своём распоряжении пять начальных и пять центральных моментов, вычислить значения:

а) математическое ожидание;

б) дисперсию;

в) стандартное отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии;

е) коэффициент эксцессии.

По полученным данным качественно описать плотность вероятности данного процесса.

1. Теоретические сведения

Распределения случайных величин и функции распределения

Распределение числовой случайной величины - это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Первое - если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р (Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины X вероятность того, что X = х.

Второе - если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей Р (а Х для всех пар чисел а, b таких, что аРаспределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = Р (Х<х), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие х. Ясно, что

Р (а Х

Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения - по распределению.

Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рис. 1).

Пример 1. Число X дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины X изображен на рис. 1.

Рис. 1. График функции распределения числа дефектных изделий.

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента - от 0 при х→∞ до 1 при х→+∞. Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.

Непрерывные функции распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, имеют производные. Первая производная f(x) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности можно определить функцию распределения:

Для любой функции распределения

Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже.

Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

(1)

где а и b - некоторые числа, аНайдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках х = а их = b производная функции F(x) не существует).

Случайная величина с функцией распределения (1) называется «равномерно распределенной на отрезке ».

Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытании на надежность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта.

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки - случайная величина с функцией распределения F(t), а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента t 0 = 100 часов. Пусть G(t) - функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция G(t) имеет скачок в точке t 0 , поскольку соответствующая случайная величина принимает значение t 0 с вероятностью 1-F(t 0 )>0.

Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 <р < 1 (обозначается х р ). Квантиль порядка р - значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньшер до значения больше р (рис. 2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль х р порядка р (рис. 2), причем

F(x p )=p. (2)

Рис. 2. Определение квантиля х р порядка р.

Пример 4. Найдем квантиль х р порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 <р < 1 квантиль х р находится из уравнения

т.е. х р = а + p (b - а) = а (1-р) +bр. При р = 0 любое х а является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка р = 1 является любое число х b.

Для дискретных распределений, как правило, не существует х р , удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл. 1, где x 1 < х 2 <… < х к , то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно х р , имеет решения только для k значений р, а именно,

p =p 1

p =p 1 +p 2 ,

p = p 1 +p 2 +p 3 ,

p = p 1 +p 2 + р т , 3<т<к,

р =р, + р 2 +… +p k

Таблица 1. Распределение дискретной случайной величины

Значения х случайной величины Xх 1 х 2 …х k Вероятности Р (Х =х)P 1 Р 2 …Р k

Для перечисленных к значений вероятности р решение х р уравнения (2) неединственно, а именно,

F(x) =р, +р 2 +… + Р т

для всех х таких, что х т < х < х т+1 . Т.е. х р - любое число из интервала (х т ; x m+1 ). Для всех остальных р из промежутка (0; 1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. А именно, если

p 1 +p 2 +… + p т 1 +p 2 + … + p т + p т+1 ,

то x р =x т+1 .

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка p = ½. Он называется медианой (случайной величины X или ее функции распределения F(x)) и обозначается Ме(Х). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x 0,5 ) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x 0,5 и вероятность попасть правее x 0,5 (или непосредственно x 0,5 ) равны между собой и равны ½ , т.е.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций - теории устойчивых статистических процедур - медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание . При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. главу о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием - нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода - значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если х 0 - мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно

из дифференциального исчисления,

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка х такая, что а < х < b, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в главе «События и вероятности». Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины X равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии .

Каждая из трех характеристик - математическое ожидание, медиана, мода - описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами - отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений - симметричных унимодальных - все три характеристики совпадают.

Плотность распределения f(x) - плотность симметричного распределения, если найдется число х 0 такое, что

(3)

Равенство (3) означает, что график функции у =f(х) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х 0 . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

(4)

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны х 0 .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х п = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

(5)

(6)

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х, достаточно иметь таблицы при х х 0 .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

Р(а) = Р (-а <Х а) = F(a) - F(-a),

где F - функция распределения случайной величины X. Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

Р(а) =2F(a) - 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

Если и - квантили порядка α и 1-α соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения - математического ожидания, медианы, моды - перейдем к характеристикам разброса случайной величины X:

дисперсии , среднему квадратическому отклонению σ и коэффициенту вариации v . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение - это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при М(Х)>0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение - в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = (b - а )/2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно , а коэффициент вариации таков:

По каждой случайной величине X определяют еще три величины - центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y - это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y= Х - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Г равно 0, а дисперсия - дисперсии данной случайной величины: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функция распределения F Y (x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x) =F (x + М(Х)).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x) =f (x + М(Х)).

Нормированная случайная величина V -это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению σ, т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v - коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения F v (x) и плотности f v (x) нормированной случайной величины V имеем:

где F(x) - функция распределения исходной случайной величины X, a f(x) - ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U - это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины:

(7)

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y= аХ+ b, где а и b - некоторые числа, то

(8)

Пример 7. Если то У - приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой У = аХ+b при различных а>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения F Y (x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y= аХ+ b часто используют запись

(9)

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х - результат измерения некоторой величины - переходит в У - результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y= gX, где lgX -десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств

Комплексной слуюйной функцией называютфункцию

Z (t )=X (t )+Y (t )i ,

где Х (t ) и Y (t )-действительные случайные функции действительного аргумента t .

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

m z (t )=m x (t )(*)

D z (t )=D x (t )(**)

Математическим , ожиданием , комплексной случайной функции Z (t )=Х (t )+Y (t )i называют комплексную функцию (неслучайную)

m z (t )=m x (t )+m y (t )i .

В частности, при Y=0 получим т z (t )=т x (t ),т.е. требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z (t ) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Z (t ):

D z (t )=M [| (t )| 2 ].

В частности, при Y==0 получим D z (t )= M [| (t )|] 2 =D x (t ), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D z (t )=M [| (t )| 2 ]= M {[ (t )] 2 + [ (t ) 2 ]}= M [ (t )] 2 +M [ (t ) 2 ]= D x (t )+D y (t ).

Итак,дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D z (t )=D x (t )+D y (t ).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х (t ) при разных значениях аргументов равна дисперсии D x (t ). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z (t ) так, чтобы при равных значениях аргументов t 1 =t 2 =t корреляционная функция K z (t , t ) была равна дисперсии D z (t ), т. е. чтобы выполнялось требование

K z (t , t )=D z (t ). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t ) называют корреляционный момент сечений (t 1)и (t 2)

K z (t 1 , t 2)= M .

В частности, при равных значениях аргументов

K z (t , t )= M =M [| | 2 ]= D z (t ).

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х (t ) и Y (t )коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2)+ [R xy (t 2 ,t 1)]+ [ R xy (t 1 ,t 1)].

если Х (t ) и Y (t ) не коррелированы, то

K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2).

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z 1 (t )=Х 1 (t )+ Y 1 (t )i и Z 2 (t )=Х 2 (t )+ Y 2 (t )i так, чтобы, в частности, при Y 1 =Y 2 = 0 выполнялось требование

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y 1 =Y 2 =0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X (t )=Ut 2 , где U- случайная величина, причем M (U )=5 ,

б ) Х (t )=U cos2t+Vt , где U и V- случайные величины, причем M (U )=3 , M (V )=4 .

Отв. а) m x (t)=5t 2 ; б) т x (t)=3 cos2t+4t.

2. К х (t 1 ,t 2) случайной функции X (t ). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y (t )=X (t )+t; б) Y (t )=(t +1)X (t ); в) Y (t )=4X (t ).

Отв. a) К y (t 1 ,t 2)= К х (t 1 ,t 2); б) К y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) К х (t 1 ,t 2); в) К y (t 1 ,t 2)=16 К x (t 1 ,t 2)=.

3. Задана дисперсия D x (t ) случайной функции Х (t ). Найти дисперсию случайных функций: a) Y (t )=Х (t )+e t б ) Y (t )=tX (t ).

Отв . a) D y (t )=D x (t ); б) D y (t )=t 2 D x (t ).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х (t )=Usin 2t , где U- случайная величина, причем M (U )=3 , D (U )=6 .

Отв . а)m x (t ) =3sin 2t; б) К х (t 1 ,t 2)= 6sin 2t 1 sin 2t 2 ; в) D x (t )=6sin 2 2t .

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ), зная ее корреляционную функцию К х (t 1 ,t 2)=3cos (t 2 -t 1).

Отв. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t )=(t +1)U , и Y(t )= (t 2 + 1)U , где U- случайная величина, причем D (U )=7.

Отв . a) R xy (t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)(t 2 2 +l); б) ρ xy (t 1 ,t 2)=1.

7. Заданы случайные функции Х (t )= (t- 1)U и Y (t )=t 2 U , где U и V - некоррелированные случайные величины, причем M (U )=2, M (V )= 3, D (U )=4 , D (V )=5 . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t )=X (t )+Y (t ).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х (t ) и Y (t ) не коррелированы.

Отв . а) m z (t )=2(t - 1)+3t 2 ; б) К z (t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)(t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; в) D z (t )=4(t - 1) 2 +6t 4 .

8. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +1 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание ее производной.

9. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +3 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t )=tХ" (t )+t 3 .

Отв. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию ее производной.

11. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции Х (t ). Найти взаимные корреляционные функции.