Корреляционные функции. Корреляционная функция

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т.е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, вводят понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса .

Корреляционной (или автокорреляционной) функцией случайного процесса называют неслучайную функцию двух аргументов, которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени)иравна математическому ожиданию произведения двух случайных величини соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционную функцию для центрированной случайной составляющей называют центрированной и определяют из соотношения

(1.58)

Часто функцию называют ковариационной, а – автокорреляционной .

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс , если его -мерные функции распределения и плотности вероятности при любомне зависят от положения начала отсчета времени . Это означает, что два процессаиимеют одинаковые статистические свойства для любого, т. е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс – это своего рода аналог установившегося процесса в динамических системах.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс ,математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция зависит только от одной переменной - разности аргументов :

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называюткорреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n -мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколь-нибудь существенно измениться.

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее значение по множеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализаций случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени .

Другое понятие о среднем значении – это среднее значение по времени , которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении достаточно длительного времени. Среднее значение по времени обозначаютпрямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле

, (1.62)

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс.

Вообще для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени различны, однако для так называемых эргодических стационарных случайных процессов среднее значение по множеству совпадает со средним значением по времени:

В соответствии с эргодической теоремой для стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определить как среднее по времени одной реализации

(1.64)

где - любая реализация случайного процесса.

Центрированная корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса

Из выражения (1.65), можно заметить, что дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции :

При исследовании вопросов зависимости или независимости двух или более сечений случайных процессов знание лишь математического ожидания и дисперсии с.п. не достаточно.

Для определения связи между различными случайными процессами используется понятие корреляционной функции – аналог понятия ковариации случайных величин (см. Т.8)

Корреляционной (ковариационной, автоковариационной, автокорреляционной) функцией случайного процесса
называется неслучайная функция двух аргументов

равна корреляционному моменту соответствующих сечений
и
:

или (с учётом обозначения центрированной случайной функции
) имеем

Приведём основные свойства корреляционной функции
случайного процесса
.

1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргументов равна дисперсии с.п.

Действительно,

Доказанное свойство позволяет вычислить м.о. и корреляционную функцию являющимися основными характеристиками случайного процесса, необходимость в подсчёте дисперсии отпадает.

2. Корреляционная функция не меняется относительно замены аргументов, т.е. является симметрической функцией относительно своих аргументов: .

Это свойство непосредственно выводится из определения корреляционной функции.

3. Если к случайному процессу прибавить неслучайную функцию, то корреляционная функция не меняется, т.е. если
, то. Другими словами

является периодической функцией относительно любой неслучайной функции.

Действительно, из цепочки рассуждений

следует, что . Отсюда получим требуемое свойство 3.

4. Модуль корреляционной функции не превосходит произведения с.к.о., т.е.

Доказательство свойства 4. проводится аналогично как в пункте 12.2. (теорема 12..2), с учётом первого свойства корреляционной функции с.п.
.

5. При умножении с.п.
на неслучайный множитель
её корреляционная функция умножится на произведение
, т.е., если
, то

5.1. Нормированная корреляционная функция

Наряду с корреляционной функцией с.п. рассматривается также нормированная корреляционная функция (или автокорреляционная функция )
определяемая равенством

.

Следствие. На основании свойства 1 имеет место равенство

.

По своему смыслу
аналогичен коэффициенту корреляции для с.в., но не является постоянной величиной, а зависит от аргументови.

Перечислим свойства нормированной корреляционной функции :

1.

2.

3.
.

Пример 4. Пусть с.п. определяется формулой, т.е.
с.в.,

распределена по нормальному закону с

Найти корреляционную и нормированную функции случайного процесса

Решение. По определению имеем

т.е.
Отсюда с учётом определения нормированной корреляционной функции и результатов решения предыдущих примеров получим
=1, т.е.
.

5.2. Взаимная корреляционная функция случайного процесса

Для определения степени зависимости сечений двух случайных процессов используют корреляционную функцию связи или взаимную корреляционную функцию.

Взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов
и
называется неслучайная функция
двух независимых аргументови, которая при каждой паре значенийиравна корреляционному моменту двух сечений
и

Два с.п.
и
называютсянекоррелированными, если их взаимная корреляционная функция тождественно равна нулю, т.е. если для любыхиимеет место
Если же для любыхиокажется
, то случайные процессы
и
называютсякоррелированными (илисвязанными ).

Рассмотрим свойства взаимной корреляционной функции, которые непосредственно выводятся из её определения и свойств корреляционного момента (см. 12.2):

1.При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не меняется, то есть

2. Модуль взаимной корреляционной функции двух случайных процессов не превышает произведения их средних квадратичных отклонений, то есть

3. Корреляционная функция не изменится, если к случайным процессам
и
прибавить неслучайные функции
и
соответственно, то есть
, где соответственно
и

4. Неслучайные множители
можно вынести за знак корреляции, то есть, если
и, то

5. Если
, то.

6. Если случайные процессы
и
некоррелированные , то корреляционная функция их суммы равна сумме их корреляционных функций, то есть.

Для оценки степени зависимости сечений двух с.п. используют также нормированную взаимную корреляционную функцию
, определяемую равенством:

Функция
обладает теми же свойствами, что и функция
, но свойство 2

заменяется на следующее двойное неравенство
, т.е. модуль нормированной взаимной корреляционной функции не превышает единицы.

Пример 5. Найти взаимную корреляционную функцию двух с.п.
и
, где
случайная величина, при этом

Решение. Так как,.

Помехи в системах связи описываются методами теории случайных процессов.

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

На рис. 1.19 показана совокупность нескольких (трех) реализаций случайного процесса , , . Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени в первом эксперименте получим конкретное значение , во втором – , в третьем – .

Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайный процесс в фиксированный момент времени Тогда в каждом эксперименте принимает одно значение , причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени и , то в каждом эксперименте будем получать два значения и . При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к системе двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин .

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

, .

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения . Чем больше , тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение (СКО) , имеющее ту же размерность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя дальность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а Ско – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются очень важными характеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две случайные величины , рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между и . Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени и и называетсякорреляционной функцией: .

Стационарные случайные процессы. Многие процессы в системах управления протекают однородно во времени. Их основные характеристики не изменяются. Такие процессы называютсястационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс называется стационарным, если любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: , .

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности моментов времени:

Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Часто корреляционные функции процессов в системах связи имеют вид, показанный на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Корреляционные функции процессов

Интервал времени , на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называетсяинтервалом или временем корреляции случайного процесса. Обычно или . Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по времени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

.

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что линейная система задана импульсной переходной характеристикой . Тогда выходной сигнал в момент времени определяется интегралом Дюамеля:

,

где – процесс на входе системы. Для нахождения корреляционной функции запишем и после перемножения найдем математическое ожидание

9. Корреляционная функция и её основные свойства.

Для полного описания случайных процессов вводится понятие коррел ф-и .

равных математическом ожидании, дисперсии, СКО

Предп, что закон распределения нормальный. На графиках видно резкое отличие процессов,несмотря на их равные вероятностные хар-ки.

Например, слежение за самолетом. Если он в момент времени t занял положениех 1 то этим самым его возможное положениех 2 в следующий моментt 2 ограничено, т. е. события (x 1 ,t 1 ) и (x 2 ,t 2 ) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, иликорреляция . Корр ф-я математически выражает корреляцию двух функций или корреляцию функции с самой собой (автокорр-я функция ). Коррфункция описывается в следующем виде:

где t 1 иt 2 – любые моменты времени, то естьt 1 иt 2 Т

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин.

Корреляционная функция – такая неслучайная функцияR x (t 1 ,t 2 ) двух аргументов, которая для любой пары фиксированных значений аргументовt 1 иt 2 равна корреляционному моменту, соответствующих этим сечениям случайных величинx (t 1 ) иx (t 2 ).

Корреляционная функция - функция времени, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

При совпадении моментов t 1 иt 2 корреляционная функция равна дисперсии. Нормированная корреляционная функция вычисляется по формуле:

Свойства корреляционных функций

1. Корреляционная функция R x (t 1 ,t 2 ) симметрична относительно своих аргументов:

в соответствии с определением корреляционной функции X (t ).

2. При добавлении к случайной функции X (t ) произвольного неслучайного слагаемого

(t ), корреляционная функцияZ (t ) X (t ) (t ),

то R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. При умножении случайной функции X (t ) на произвольный неслучайный множитель ψ(t ) корреляционная функцияR x (t 1 ,t 2 ) умножается на ψ(t 1 )ψ(t 2 ).

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

действительного случайного процесса - аргументов t, . определяемая равенством

Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех имеет конечный второй Параметр tпробегает здесь некоторое подмножество Тдействительной прямой и обычно интерпретируется как "время", однако совершенно аналогично определяется К. ф. случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности К. ф. случайного поля, когда Т - подмножество конечномерного пространства. Если - многомерный (), то его К. ф. наз. матричнозначная функция

Взаимная корреляционная функция процессов X i (t), X j (t).

К. ф. является важной характеристикой случайного процесса. Если X(t) - гауссовский процесс, то его К. ф. В(t, s ).и значение (т. е. первые и вторые моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Напр., одинаковую К. ф. имеют гауссовский , траектории к-рого непрерывны, и так наз. телеграфный сигнал - точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения ±1. Однако К. ф. определяет важных свойств процесса - так наз. свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в ее статистич. приложениях (см. Коррелограмма ).

Если R(t).дополнительно непрерывна при t= 0 (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса X(t)), то

где - положительная конечная ; здесь l пробегает всю действительную прямую, если Т= (случай "непрерывного времени"), или если Т= {. . . , - 1, 0, 1, . . .} (случай "дискретного времени"). Мера наз. спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; напр., скорость убывания корреляций при соответствует степени гладкости спектральной плотности и т. п.

В статистической механике К. ф. наз. также совместная r(x 1 , ..., х т ).нахождения тразличных частиц рассматриваемой системы в точках x 1 , ..., х т ;совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное .

Лит. : Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965. А. С. Холево.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

корреляционная функция - Ндп. автокорреляционная функция Функция, равная среднему значению произведения переменной составляющей случайного сигнала и такой же переменной составляющей, но запаздывающей на заданное время. Примечание Корреляционная функция характеризует… … Справочник технического переводчика

Корреляционная функция функция времени или пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами. Зависящая от времени корреляция двух случайных функций X(t) и Y(t) определяется как: , где угловые скобки… … Википедия

В статистической физике ф ция, определяющая вероятность относит. расположения комплекса из s любых молекул жидкости или газа; при s=2 К. ф. наз. парной или бинарной. Появление корреляций в расположении молекул среды связано с тем, что в ближайшем … Физическая энциклопедия

Случайного процесса ф ция В (s, t) = М[ Х (s) MX (s)].*, s, [здесь MX (t) первый момент процесса, * означает комплексное сопряжение; предполагается, что. В случае векторного процесса К. ф. наз коррел … Физическая энциклопедия - 1. Функция, равная среднему значению произведения переменной составляющей случайного сигнала и такой же переменной составляющей, но запаздывающей на заданное время Употребляется в документе: ГОСТ 16465 70 Сигналы радиотехнические измерительные.… … Телекоммуникационный словарь

См. Функция корреляционная случайного процесса. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

Корреляционная функция случайного процесса - 16. Корреляционная функция случайного процесса Функция двух переменных t и и, равная ковариационной функции центрированного случайного процесса Rξ (t, u) = M{[ξ(t) m1]×[ξ(u) m2]}, t,uЄT Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Нормированная корреляционная функция - 25. Нормированная корреляционная функция Ндп. Коэффициент корреляции Функция, равная отношению корреляционной функции случайного сигнала к его дисперсии