Рассмотрим два частных случая, которые дают представление о поведении решения уравнения, Случай 1. Пусть а график функции имеет вид, изображенный на рис. За. Будем считать для простоты, что а= 1. Тогда формула Даламбера примет вид Чтобы получить график решения и рассматриваемого как функция or х при каком-нибудь фиксированном положительном ty поступаем так: сначала начер- 1 тим два одинаковых совпадающих графи- " ка, которые получаюгся из графика у>о(х) - уменьшением вдвое каждой ординаты (пунктир на верхнем рисунке). Потом рис. з один из этих графиков передвинем, как целое, на t вправо по направлению положительной полуоси Ох> адругой - на t влево. После этого построим новый график, у которого ордината при каждом значении х равна сумме ординат двух передвинутых графиков. На рис. 3 б, 3 в и 3 г этим способом построены графики гх (х, j), u (х, j), и(х, 1) соответственно. Мы видим, что при выбранных начальных условиях в каждой точке струны после прохождения обеих волн (для точек, лежащих вне области начального смещения, - после прохождения только одной) наступает покой. СяучаЛ 2. Пусть Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи Свободные колебания однородной струны закрепленной на концах Исследование формулы Даламбера В этом случае говорят, что струна имеет только начальный импульс. Решение (8) принимает вид (для простоты считаем а=1): Для каждого фиксированного х решение u(xyt) будет равно нулю до тех пор, пока пересечение интервала (x-t, х +1) с интервалом (-5»?)» где МО7*0, пусто; u(x,0 будет изменяться в течение того промежутка времени, пока увеличивающийся интервал {x-t, х 4-1) будет накрывать все большую часть интервала (-5, 3). После того, как интервал (x-t, х + t) заключит внутрь себя интервал (-5, 3), величина и(г,0 будет оставаться неизменной и равной Чтобы получить график, представляющий форму струны при различных t, поступаем следующим образом. Обозначим через Ф(г) какую-нибудь первообразную функцию для 4>\(z). Тогда Для построения графика и(х, t) вычерчиваем графики функций азатем каждый изэтихграфиковпередвигаем,какцелое,нарасстояние£ вдоль ос и Ох, первый график влево, а второй - вправо. Сложив ординаты передвинутых графиков, получим график функции ti(x, t) (рис. 5). По истечении достаточно большого промежутка времени каждая точка струны переместится и получит стационарное отклонение «ст, определяемое интегралом (9). В этом случае мы имеем, следовательно, остаточную деформацию (гистерезис). § 3. Корректность постановки задачи. Пример Адамара некорректно поставленной задачи В связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности задачи. Определение. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи существует в каком-то классе М\ функций; 2) решение задачи единственно в некотором классе М2 функций; 3) решениезадачи непрерывно зависит от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и т.д.). Множество М| П М2 функций называется классом корректности рассматриваемой математической задачи. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что задача Коши поставлена корректно, если функция /(х, у) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области, содержащей точку Рассмотрим задачу Коши для неограниченной струны Выше м ы установили, что решение задачи (1)-(2) 1) существует и 2) единственно. Покажем, что при непрерывном изменении начальных условий это решение изменяется непрерывно. Теорема 1. Каков бы ни был отрезок (см. рис 11). Значение U равно (интегральному) среднему значению начальной скорости на отрезке [x o - at o , x o + at o ], умноженному на промежуток времени t .
Рис. 11
На рис. 11 изображена фазовая плоскость x0t . Точки (x o - at o , 0) и (x o + at o , 0) являются точками пересечения характеристик x - at = x o - at o и x + at = x o + at o с осью х . В качестве примера приведем фазовую картину решения следующей задачи:
Рис. 12
Рис. 12 описывает процесс колебания струны, которой сообщается начальная единичная скорость на отрезке -1
1. В области 1 (так же, как и в области 5) функция
При вычислении интеграла всегда удобно представить себе характеристический треугольник с вершиной в точке, лежащей в соответствующей области (см. рис 12). Тогда значение U(x,t) будет определяться значениями начальной функции ψ(x) в основании характеристического треугольника.
2. В области 2 функция
3. В области 3 функция
4. В области 4 функция
5. В области 6 функция
Это решение в различные моменты времени можно изобразить на плоскости x0U (см. рис 13). Здесь для простоты положим a=1.
Рис. 13
Графики функции U(x,t) , изображенные на рис. 13, задают форму струны в различные моменты времени.
Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, мы рассмотрим более простую задачу - о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.
Рассматривая свободные колебания, мы должны, таким образом, решить однородное уравнение
при начальных условиях
где функции заданы на всей числовой оси. Никакие краевые условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Метод решения ее, который мы сейчас изложим, называется методом Даламбера или методом бегущих волн.
Прежде всего покажем, что общее решение уравнения (2.1), т. е. решение, зависящее от двух произвольных функций (см. введение), имеет вид
где функции предполагаются дважды дифференцируемыми.
Действительно, последовательно дифференцируя, находим:
Отсюда ясно, что
т. е. что равенство (2.1) соблюдается.
Наша задача состоит теперь в том, чтобы, пользуясь начальными условиями (2.2), определить неизвестные функции . Полагая в (2.3) и подсгавляя выражение для в первое из условий (2.2), получим
Полагая теперь в выражении для и пользуясь вторым условием (2.2), придем к уравнению
Интегрируя это равенство в пределах от 0 до получим соотношение
которое приведем к виду
где - некоторая постоянная величина.
Из системы уравнений (2.4) и (2.6) находим искомые функции
Заменяя в формулах (2.7) аргумент соответственно на и подставляя полученные выражения в формулу (2.3), найдем функцию
Замечая, что
придадим решению следующий вид:
Формула (2.8) называется решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний струны.
Предоставляем читателю самостоятельно проверить, что найденная функция действительно удовлетворяет как уравнению (2.1), так и условиям (2.2).
Для того чтобы выяснить физический смысл полученного решения, рассмотрим прежде всего в отдельности функции, входящие в общее выражение (2.3) для . Начнем с функции и построим графики этой функции при возрастающих значениях и т. д. (на рис. 5 они расположены сверху вниз).
Второй график будет сдвинут относительно первого на величину третий - на величину и т. д. Если по очереди проектировать эти рисунки на неподвижный экран, то зритель увидит, что график, изображенный на верхнем рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов.) При этом, если мысленно перемещаться вправо вдоль струны с постоянной скоростью а, то отклонение струны будет казаться все время постоянным.
Действительно, начав движение, скажем, в точке и переместившись за время t в точку х, будем иметь
