Характеристической функцией случайной величиныX называют преобразование Фурье распределения случайной величины:

Свойства

Доказательство .

Доказательство .

Естественно , это свойство распространяется и на бо́льшее число слагаемых:

.

φ (t ) равномерно непрерывна.

Доказательство .

Полученное окончательное выражение зависит только от h . Для непрерывной случайной величины можно записать

.

Доказательство . Если существуетk -й момент величиныX , то, пользуясь дифференцированием под знаком интеграла (что можно, посколькуp (x ) существует), получим

При каждом последующем дифференцировании «сносится» i E[X ], так что послеk дифференцирований получимi k E[X k ]. Этот результат можно представить в виде

.

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

Доказательство частных случаев

Пусть X - целочисленная дискретная случайная величина (k Z ), тогда (обратное преобразование Фурье)

(ряд Фурье, коэффициентами которого являются p k ), тогда

Все слагаемые, при которых k ≠m , дают 0 (по ортогональности), и остается

.

Пусть φ (t ) абсолютно интегрируема на вещественной прямой, и существует плотность распределенияp (x ) 11 .

Попробуем выразитьp (x ) через характеристическую функцию. Запишем обратное преобразование Фурье функцииφ :

.

С учетом этого

Поскольку

в силу замены переменных получим

и, следовательно,

.

Если в (*) во втором интеграле оба предела интегрирования имеют одинкаовые знаки, получим 0; если разные - конечное число. То есть, ненулевой предел есть при a <y <b . В этом случае появится интеграл от −∞ до ∞, равныйπ . Отсюда

Получили :

,

следовательно, p полностью определяется характеристической функцией.

.

Доказательство ..

Критерий характеристической функции

Функция φ X (t ) - характеристическая для случайной величиныX тогда и только тогда, когда:

φ X (0) = 1,

φ X (t ) положительно определена .

Функция φ (t ) называетсяположительно определенной (positivedefinite), если

причем равенство нулю достигается лишь при z i = 0i . Если ослабить условие достижения равенства нулю, получимнеотрицательно определенную функцию.

Проверим , что характеристическая функция положительно определена:

Обоснование . По свойству 5),

При k = 1, получаем,

При k = 2 -.

Если EX = 0,DX =E[X 2 ] = 1,
.

20.2 Примеры

Решение . Приведем выражение к виду

Нетрудно видеть, что
. После преобразования можно записать
.

Рассмотрим значения p i :

Вывод :cos 2 t - характеристическая функция дискретной случайной величины, принимающей значение 0 с вероятностью 1/2, а значения 2 и −2 - с вероятностью 1/4.

Вычислить характеристическую функцию вырожденной случайной величины:P (X = 0) = 1.

Решение ..

Если же P (X =C ) = 1, получим.

Решение . Приведем выражение к виду

.

Рассмотрим значения p i :

Получили : это характеристическая функция дискретной случайной величины.

Решение . ПустьY =X –X ′ , тогда

Вывод : квадрат модуля любой характеристической функции - снова характеристическая функция.

Пусть X ,Y - случайные величины с характеристическими функциямиφ X (t ) иφ Y (t );a ,b > 0 - константы такие, чтоa +b = 1. Рассмотрим функцию

Является ли она характеристической, и если да, то для какой случайной величины?

Ответ : да, является. Пусть соответствующие функции распределенияX иY - F X (x ) иF Y (y ). Рассмотрим функцию. Очевидно, это функция распределения, поскольку

Тогда плотность вероятности

Если φ (t ) - характеристическая функцияX , тоφ (−t ) - характеристическая функция (–X ). (из примера 4)).

Пусть φ (t X , тогда является ли

f (t ) =Re[φ (t )]

Решение . Очевидно,

Пусть φ (t ) соответствует функции распределенияF X (x ), тогда дляRe[φ (t )]:

Пусть φ (t ) - характеристическая функция величиныX , тогда является ли

f (t ) =Im[φ (t )]

характеристической функцией некототорой случайной величины?

Решение . Нет, не является, посколькуf (0) = 0.

Найти характеристическую функцию нормального распределения.

1. X ~ N (0, 1):

Сосчитаем φ (t ), продифференцировав под знаком интеграла:

Решим дифференциальное уравнение
с начальным условиемφ (0) = 1:

X ~N (a ,σ 2): сопоставим такую величину сX 0 ~N (0, 1). Легко видеть, чтоX =a +σ X 0 . Тогда, по свойству 2)

Заданная на всей числовой оси формулой

X. ф. случайной величины Xпо определению есть X. ф. ее вероятностного распределения

Метод, связанный с использованием X. ф., был впервые применен А. М. Ляпуновым и позднее стал одним из основных аналитич. методов теории вероятностей. Особенно эффективно он используется при доказательстве предельных теорем теории вероятностей, напр. центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин со 2-ми моментами сводится к элементарному соотношению

Основные свойства X. ф. 1) и положительно определена, т. е.

Для любых конечных наборов комплексных чисел и аргументов

2) равномерно непрерывна на всей оси

4) в частности, принимает только действительные значения (и является четной функцией) в том и только том случае, когда соответствующее вероятностное симметрично, т. е. где

5) X. ф. однозначно определяет меру; имеет место обращения:

Для любых интервалов (а, 6), концы к-рых имеют нулевую m-меру. Если интегрируема (абсолютно, если понимать в смысле Римана) на то соответствующая функция распределения имеет ри

6) X. ф. свертки двух вероятностных мер (суммы двух независимых случайных величин) есть их X. ф.

Следующие три свойства выражают связь между существованием моментов случайной величины и степенью гладкости ее X. ф.

7) Если для нек-рого натурального п, то при всех натуральных существуют производные порядка rот X. ф. случайной величины Xи имеет место равенство

8) Если существует то

9) Если для всех

то при всех имеет место

Использование метода X. ф. главным образом основано на указанных выше свойствах X. ф., а также на следующих двух теоремах.
Теорема Бохнера (описание класса X. ф.). Пусть функция f задана на и f(0)=1. Для того чтобы f была X. ф. нек-рой вероятностной меры, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна и положительно определена.
Теорема Леви ( соответствия). Пусть -последовательность вероятностных мeр, а -последовательность их X. ф. Тогда слабо сходится к нек-рой вероятностной мере (т. е. для произвольной непрерывной ограниченной функции в том п только том случае, если н каждой точке сходится к нек-рой непрерывной функции f; в случае сходимости функция Отсюда следует, что относительная (в смысле слабой сходимости) семейства вероятностных мер равносильна равностепенной непрерывности в нуле семейства соответствующих X. ф.
Теорема Бохнера позволяет смотреть на преобразование Фурье - Стилтьеса как на между полугруппой (относительно операции свертки) вероятностных мер в и полугруппой (относительно поточечного умножения) положительно определенных непрерывных равных в нуле единице функций на Теорема Леви утверждает, что этот алгебраич. изоморфизм является и топологич. гомеоморфизмом, если в полугруппе вероятностных мер иметь в виду топологию слабой сходимости, а в полугруппе положительно определенных функций - топологию равномерной сходимости на ограниченных множествах.
Известны выражения X. ф. основных вероятностных мор (см. , ), напр., X. ф. гауссовой меры со средним ти дисперсией есть
Для неотрицательных целочисленных случайных величин X, наряду с X. ф., используется ее аналог -

Связанная с X. ф. соотношением
X. ф. вероятностной меры в конечномерном пространстве определяется аналогично:

Где х> означает . Сформулированные выше факты справедливы и для X. ф. вероятностных мер в

Лит. : Лукач Е., Характеристические функции, пер. с англ., М., 1979; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. пер. с англ., М., 1967; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973; 3олотарев В. М., Одномерные устойчивые распределения, М., 1983.
Н. H . Вахания.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

Характеристическая функция: Характеристическая функция в термодинамике функция, посредством которой определяются термодинамические свойства системы. Характеристическая функция множества функция, устанавливающая принадлежность элемента множеству;… … Википедия

В термодинамике, функция состояния независимых параметров, определяющих состояние термодинамич. системы. К X. ф. относятся потенциалы термодинамические и энтропия. Посредством Х … Физическая энциклопедия

характеристическая функция - Функция состояния термодинамической системы соответствующих независимых термодинамических параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические… … Справочник технического переводчика

Характеристическая функция - в теории кооперативных игр, соотношение, которое определяет величину минимального выигрыша для любой коалиции в игре. При объединении двух коалиций значение Х.ф. будет не меньше суммы таких функций для необъединенных… … Экономико-математический словарь

характеристическая функция - būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: angl. characteristic function rus. характеристическая функция … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

характеристическая функция - būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic function vok. charakteristische Funktion, f rus. характеристическая функция, f pranc. fonction caractéristique, f … Fizikos terminų žodynas - множeства Епространства X функция равная 1 при и равная 0 при (где СЕ дополнение Ев X). Любая функция со значениями в {0, 1} является X. ф. нек рого множества, а именно множества, Свойства X. ф.: попарно непересекающиеся, то 6) если то … Математическая энциклопедия

случайной величины однозначно связаны преобразованием Фурье . Например, плотность распределенияf (x ) случайной величиныX однозначно выражается через ее характеристическую функцию при помощиобратного преобразования Фурье :

где υ X (k ) (0) – значение k -й производной характеристической функции приt = 0.

случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

ЛЕКЦИЯ 8 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения

Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта.

Двухмерные случайные величины характеризуются множествами значений Ω X ,Ω Y своих компонент и совместным (двухмерным) законом распределения. В зависимости от типа компонентX ,Y различают дискретные, непрерывные и смешанные двухмерные случайные величины.

Двухмерную случайную величину (Х, Y ) геометрически можно представить как случайную точку (Х ,У ) на плоскости х0у либо как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (Х ,У ).

Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины

(Х ,Y ) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х <х } и {Y < у }:

F(x, y) = p({ X< x} { Y< y} ) .

Геометрически двухмерная функция распределения F (x , y )

Свойства двухмерной функции распределения:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

– это вероятность

. (x ,y )

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее 1.

2. F (–∞ , y ) =F (x , –∞ ) = F (–∞ , –∞ ) = 0,F (+∞ , +∞ ) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), еслиx 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), еслиy 2 >y 1 .

Доказательство. Докажем, чтоF (x ,y )− неубывающая функция по

переменной х . Рассмотрим вероятность

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Так как p (X < x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X < x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Аналогично и для у .

4. Переход к одномерным характеристикам:

Матрица распределения

Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) является дискретной, если множества значений ее компонентΩ X иΩ Y представляют собой счетные множества. Для описания вероятностных характеристик таких величин используется двухмерная функция распределения и матрица распределения.

Матрица распределения представляет собой прямоугольную таблицу, которая содержит значения компонентыX − Ω X ={ x 1 ,x 2 ,... ,x n } , значения компонентыY − Ω Y ={ y 1 ,y 2 , …,y m } и вероятности всевозможных пар значенийp ij =p (X =x i ,Y =y j ),i = 1, …,n ,j = 1, …,m .

i= 1

Двухмерная плотность распределения

Двухмерная случайная величина (X ,Y ) является непрерывной, если ее

функция распределения F (х ,у ) представляет собой непрерывную, дифференцируемую функцию по каждому из аргументов и существует вторая

смешанная производная ∂ 2 F (x , y ) .

∂ x ∂y

Двухмерная плотность распределения f(х, у) характеризует плотность вероятности в окрестности точки с координатами (х, у) и равна второй смешанной производной функция распределения:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Свойства двухмерной плотности:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Условие нормировки:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .

Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.

Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно. Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.
В исходной задаче требовалось установить является ли заданнная функция ХФ какой-либо случайной величины. Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.
Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина. При этом использование теорем о представлении СВ в виде линейной комбинации других СВ Радемахера никак не способствует пониманию основных свойств ХФ, более того, как я выше указал ваше решение содержит завуалированный ряд Фурье, то есть фактически соответствует первому способу.
Когда требуется показать, что заданная функция не может являться ХФ какой-либо СВ, то достаточно установить невыполнение одного из свойств ХФ: единичное значение в нуле, ограниченность по модулю единицей,получение корректных значений для моментов ПРВ, равномерную непрерывность. Проверка корректности значений моментов, вычисляемых через заданную функцию является математически-равноправной проверке равномерной непрерывности в том смысле, что невыполнение любого из этих свойств может служить одинаковым основанием для признания непригодности заданной функции. Однако, проверка корректности значений моментов является формализованной: дифференцируй и проверяй. Равномерную непрерывность, в общем случае, приходится доказывать, что ставит успех решения задачи в зависимость от творческого потенциала студента, от его способности "догадываться".
В рамках обсуждения "построения" СВ предлагаю рассмотреть простую задачу: построим СВ с ХФ вида: где