Временные ряды
.
Временной ряд –
это множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. Если время
непрерывно, временно ряд называется непрерывным. Если время изменяется
дискретно, временной ряд дискретен. Наблюдения дискретного временного
ряда, сделанные в моменты времени могут быть обозначены через . В этой книге рассматриваются
только дискретные временные ряды, в которых наблюдения делаются через
фиксированный интервал . Когда имеется последовательных
значений такого ряда, доступных для анализа, мы пишем 
, обозначая так наблюдения,
сделанные в равноотстоящие моменты времени . Во многих случаях значения и не важны, но если
необходимо точно определить времена наблюдений, нужно указать эти два значения.
Если мы принимаем за
начало и за
единицу времени, мы можем рассматривать как наблюдение в момент времени .
Дискретные временные ряды могут появляться двумя путями.
1) Выборкой из непрерывных временных рядов, например, в ситуации, показанной на рис. 1.2, где значения непрерывных входа и выхода газовой печи считываются с интервалом 9 с.
2) Накоплением переменной в течение некоторого периода времени; примерами могут служить дождевые осадки, которые обычно накапливаются за такие периоды, как день или месяц, или выход партий продукта, накапливающегося за время цикла. Например, на рис. 2.1 показан временной ряд, состоящий из значений выхода 70 последовательных партий продукта химического процесса.
Рис. 2.1 Выход 70 последовательных партий продукта химического процесса.
Детерминированные и случайные временные ряды . Если будущие значения временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, например, такой, как
,
временной ряд называют детерминированным. Если будущие значения могут быть описаны только с помощью распределения вероятностей, временной ряд называют недетерминированным, или просто случайным. Данные о партиях продукта на рис. 2.1 – это пример случайного временного ряда. Хотя в этом ряду имеется отчетливая тенденция к чередованию «вверх-вниз», невозможно точно предсказать выход следующей партии. В этой книге мы будем исследовать именно такие случайные временные ряды.
Стохастические процессы . Статическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятности, называется стохастическим процессом. Мы часто будем называть его просто процессом, опуская слово «стохастический». Подлежащий анализу временной ряд может быть рассматриваться как одна частная реализация изучаемой системы, генерируемая скрытым вероятностным механизмом. Другими словами, анализируя временной ряд, мы рассматриваем его как реализацию стохастического процесса.
Рис. 2.2 Наблюденный временной ряд (жирная линия) и другие временные ряды, являющиеся реализациями одного и того же стохастического ряда.
Рис. 2. 3. Изолинии плотности двумерного распределения вероятности, описывающего стохастический процесс в моменты времени и , там же маргинальное распределение в момент .
Например,
анализирую данные о выходе партии продукта на рис 2.1, мы можем представить себе
другие множества наблюдений (другие реализации порождающего эти наблюдения
стохастического процесса), которые могут быть генерированы той же самой
химической системой, за те же циклов. Так, например, на рис. 2.2
показаны выходы партий продукта с по (жирная линия) вместе с
другими временными рядами, которые могли бы быть получены из популяции
временных рядов, определяемых тем же стохастическим процессом. Отсюда следует,
что мы можем рассматривать наблюдение в данное время , скажем , как реализацию случайной
величины с
плотностью вероятности . с плотностью
вероятности 
.
Стохастичность (др.-греч. στόχος - цель, предположение) означает случайность. Стохастический процесс - это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. Однако, по М. Кацу и Э. Нельсону, любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет стохастическим процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).
Примером реального стохастического процесса в нашем мире может служить моделирование давления газа при помощи Винеровского процесса. Несмотря на то, что каждая молекула газа движется по своему строго определённому пути (в данной модели, а не в реальном газе), движение совокупности таких молекул практически нельзя просчитать и предсказать. Достаточно большой набор молекул будет обладать стохастическими свойствами, такими как наполнение сосуда, выравнивание давление, движение в сторону меньшего градиента концентрации и т. д. Таким образом проявляется эмерджентность системы.
Метод Монте-Карло получил распространение благодаря физикам Станиславу Уламу, Энрико Ферми, Джону фон Нейману и Николасу Метрополису. Название произошло от казино в городе Монте Карло, Монако, где дядя Улама занимал деньги для игры. Использование природы случайностей и повторов для изучения процессов аналогично деятельности, происходящей в казино.
Методы проведения расчётов и экспериментов на основе случайных процессов как формы стохастического моделирования применялись ещё на заре развития теории вероятностей (напр. Задача Буффона и работах по оценке малых выборок Уильяма Госсета), но наиболее развились в предкомпьютерную эру. Отличительной чертой методов моделирования Монте-Карло является то, что сначала идёт поиск вероятностного аналога (см. алгоритм имитации отжига). До этого методы моделирования шли в противоположном направлении: моделирование использовалось для того, чтобы проверить результат полученной ранее детерминированной проблемы. И хотя подобные подходы существовали до этого, они не были общими и популярными до тех пор, пока не появился метод Монте-Карло.
Возможно, наиболее известное из ранних применений подобных методом принадлежит Энрико Ферми, который в 1930 году использовал стохастические методы для расчёта свойств только что открытого нейтрона. Методы Монте-Карло широко использовались в ходе работы над манхэттенским проектом, несмотря на то, что возможности вычислительных машин были сильно ограничены. По этой причине только с появлением компьютеров методы Монте-Карло начали широко распространяться. В 1950х их использует Лос-Аламосская национальная лаборатория для создания водородной бомбы. Широкое распространения методы получили в таких областях, как Физика, Физическая химия и Исследование операций.
Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию генераторов псевдослучайных чисел, которые были намного быстрее, чем табличные методы генерации, которые ранее использовались для статистической выборки.
Изучение статистических закономерностей - важнейшая познавательная задача статистики, которую она решает с помощью особых методов, видоизменяющихся в зависимости от характера исходной информации и целей познания. Знание характера и силы связей позволяет управлять социально-экономическими процессами и предсказывать их развитие.
Среди многих форм связей важнейшей является причинная, определяющая все другие формы. Сущность причинности состоит в порождении одного явления другим. Вместе с тем, причина сама по себе еще не определяет следствия, она зависит также от условий, в которых протекает действие причины. Для возникновения следствия нужны все определяющие его факторы - причина и условия. Необходимая обусловленность явлений множеством факторов называется детерминизмом.
Объектами исследования при статистическом измерении связей служит, как правило, детерминированность следствия факторами (причиной и условиями). Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, являющиеся причиной изменения других, связанных с ними признаков, называют факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными.
Связи между явлениями и их признаками классифицируют по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.
Между различными явлениями и их признаками необходимо, прежде всего, выделить два типа связей: функциональную (жестко детерминированную) и статистическую (стохастически детерминированную).
Связь признака "y" с признаком "x" называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака "x" соответствует одно или несколько строго определенных значений зависимого признака "y". Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков x 1 ,x 2 ,...,x n .
Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.
Функциональную связь можно представить уравнением: y i =f(x i), где y i - результативный признак (i = 1, ...,n); f(x i) - известная функция связи результативного и факторного признаков; x i - факторный признак.
Чаще всего функциональные связи наблюдаются в явлениях, описываемых математикой, физикой и другими точными науками. Имеют место функциональные связи и в социально-экономических процессах, но довольно редко (они отражают взаимосвязь только отдельных сторон сложных явлений общественной жизни). В экономике примером функциональной связи может служить связь между оплатой труда у и количеством изготовленных деталей х при простой сдельной оплате труда.
В реальной общественной жизни, ввиду неполноты информации жестко детерминированной системы, может возникнуть неопределенность, из-за которой эта система по своей природе должна рассматриваться как вероятностная, при этом связь между признаками становится стохастической.
Стохастическая связь – это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или других величин x 1 ,x 2 ,...,x n , (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это обусловливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.
Характерной особенностью стохастических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице (причем не известен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативным признаком).
Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде уравнением: ŷ i = f(x i) + ε i , где ŷ i - расчетное значение результативного признака; f(x i ) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (одного или множества), находящихся в стохастической связи с признаком; ε i - часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признаков, неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками.
Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо.
В социально-экономической жизни приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, уровень производительности труда рабочих стохастически связан с целым комплексом факторов: квалификацией, стажем работы, уровнем механизации и автоматизации производства, интенсивностью труда, простоями, состоянием здоровья работника, его настроением, атмосферным давлением и другими. Полный перечень факторов определить практически невозможно.
Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин x 1 ,x 2 ,...,x n . Корреляционная связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом. Только при достаточно большом количестве случаев каждому значению случайного признака х будет соответствовать распределение средних значений случайного признака у. Наличие корреляционных связей присуще многим общественным явлениям.
В зависимости от направления действия функциональные и стохастические связи могут быть прямыми и обратными. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора, т.е. с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак. В противном случае между рассматриваемыми величинами существуют обратные связи. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда – прямая связь. А чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции – обратная связь.
По аналитическому выражению (форме) связи могут быть прямолинейными и нелинейными (криволинейными). При прямолинейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит непрерывное возрастание (или убывание) значений результативного признака. Математически такая связь представляется уравнением прямой, а графически - прямой линией. Отсюда ее более короткое название - линейная связь.
При криволинейных связях с возрастанием значения факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно или же направление его изменения меняется на обратное. Геометрически такие связи представляются кривыми линиями (гиперболой, параболой и т.д.).
По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются однофакторные (один фактор) и многофакторные (два и более факторов). Однофакторные (простые) связи обычно называются парными (так как рассматривается пара признаков). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда. В случае многофакторной (множественной) связи имеют в виду, что все факторы действуют комплексно, т.е. одновременно и во взаимосвязи, например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих, производственным стажем, простоями и другими факторными признаками.
С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи.
Стохастические процессы подразделяются на стационарные и нестационарные процессы. Стохастический процесс является стационарным, если он находится в определенном смысле в статистическом равновесии, т.е. его свойства с вероятностной точки зрения не зависят от времени. Процесс не стационарен, если эти условия нарушаются.
Важное теоретическое значение имеют гауссовские процессы. Это такие процессы, в которых любой набор наблюдений имеет совместное нормальное распределение. Как правило, термин "временной ряд" сам по себе подразумевает, что этот ряд является одномерным (скалярным).
При анализе экономических временных рядов традиционно различают разные виды эволюции (динамики). Эти виды динамики могут, вообще говоря, комбинироваться. Тем самым задается разложение временного ряда на составляющие или компоненты, которые с экономической точки зрения несут разную содержательную нагрузку. Различают два вида компонент: систематические (это результат воздействия на временной ряд постоянно действующих факторов) и случайные (это случайный шум или ошибка, нерегулярно воздействующие на ряд).
Перечислим наиболее важные компоненты. К систематическим относятся следующие:
тенденция - соответствует медленному изменению, происходящему в некотором направлении, которое сохраняется в течение значительного промежутка времени. Тенденцию называют также трендом или долговременным движением;
циклические колебания - это более быстрая, чем тенденция, квазипериодическая динамика, выходящая за рамки одного периода и в которой есть фаза возрастания и фаза убывания. Промежуток времени между двумя вершинами или впадинами считается длиною цикла. На циклические компоненты оказывают влияние трудно идентифицируемые формальными методами факторы (изменение политической ситуации, прирост или истощение ресурсов и др.). Наиболее часто цикл связан с флуктуациями экономической активности;
сезонные колебания - соответствуют изменениям, которые происходят регулярно в течение года, недели или суток, т.е. внутри одного выделенного периода. Они связаны с сезонами и ритмами человеческой активности;
календарные эффекты - это отклонения, связанные с определенными предсказуемыми календарными событиями, такими, как праздничные дни, количество рабочих дней за месяц, високосный год и т.п.
Систематические компоненты могут одновременно все присутствовать во временном ряде.
Случайные компоненты включают в себя следующие виды:
случайные флуктуации - беспорядочные движения относительно большой частоты. Они порождаются влиянием разнородных событий на изучаемую величину (несистематический или случайный эффект). Часто такую составляющую называют шумом (этот термин пришел из технических приложений).
выбросы - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, которые резко, но лишь очень кратковременно отклоняют ряд от общего закона, по которому он движется.
структурные сдвиги - это аномальные движения временного ряда, связанные с редко происходящими событиями, имеющие скачкообразный характер и меняющие тенденцию.
Некоторые экономические ряды можно считать представляющими те или иные виды таких движений почти в чистом виде. Но большая часть их имеет очень сложный вид. В них могут проявляться, например, как общая тенденция возрастания, так и сезонные изменения, на которые могут накладываться случайные флуктуации. Часто для анализа временных рядов оказывается полезным изолированное рассмотрение отдельных компонент.
Для того чтобы можно было разложить конкретный ряд на эти составляющие, требуется сделать какие-то допущения о том, какими свойствами они должны обладать. Желательно построить сначала формальную статистическую модель, которая бы включала в себя в каком-то виде эти составляющие, затем оценить ее, а после этого на основании полученных оценок вычленить составляющие. Однако построение формальной модели является сложной задачей. В частности, из содержательного описания не всегда ясно, как моделировать те или иные компоненты. Например, тренд может быть детерминированным или стохастическим. Аналогично, сезонные колебания можно комбинировать с помощью детерминированных переменных или с помощью стохастического процесса определенного вида. Компоненты временного ряда могут входить в него аддитивно или мультипликативно, либо в смешенном виде. Более того, далеко не все временные ряды имеют достаточно простую структуру, чтобы можно было разложить их на указанные составляющие. Существует два основных подхода к разложению временных рядов на компоненты. Первый подход основан на использовании множественных регрессий с факторами, являющимися функциями времени, второй основан на применении линейных фильтров.
Еще статьи по экономике
Статистическое исследование рынка труда
Проблема рынка труда, занятости и безработицы являются одной из важнейших социально-экономических проблем нашего времени. В условиях переходной экономики эти проблемы проявляются особенно ос...
Комплексный экономический анализ производственно-хозяйственной деятельности медицинской организации
Анализ
финансово-хозяйственной деятельности предприятий как наука представляет собой
систему специальных знаний, связанных с исследованием тенденций хозяйственного
развития, н...
Кооперативные уставы, их виды и содержание
Кооператив
- это самодеятельная организация работников - собственников, организующих его
деятельность в целях получения прибыли или реализации в своих интересах
различного род...
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
то же, что случайный … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
процесс, то же, что случайный процесс … - ПРОЦЕСС
ФОРМУЛЯРНЫЙ - см ФОРМУЛЯРНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
УГОЛОВНЫЙ - см УГОЛОВНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ТОКИЙСКИЙ - см ТОКИЙСКИЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ПЕРЕВОЗОЧНЫЙ - см ПЕРЕВОЗОЧНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
НЮРНБЕРГСКИЙ - см НЮРНБЕРГСКИЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ЛЕГИСАКЦИОННЫЙ - см ЛЕГИСАК -ЦИОННЫЙ … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
КОНСТИТУЦИОННЫЙ - см. КОНСТИТУЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ИЗБИРАТЕЛЬНЫЙ - см. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЙ - см ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
ГРАЖДАНСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ - см. МЕЖДУНАРОДНЫЙ ГРАЖДАНСКИЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
БЮДЖЕТНЫЙ - см. БЮДЖЕТНЫЙ ПРОЦЕСС … - ПРОЦЕСС в Словаре экономических терминов:
АДМИНИСТРАТИВНЫЙ- см АДМИНИСТРАТИВНЫЙ … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Большом энциклопедическом словаре:
(от греч. stochastikos - умеющий угадывать) случайный, … - ПРОЦЕСС в Большом энциклопедическом словаре:
(от лат. processus - продвижение) 1) последовательная смена явлений, состояний в развитии чего-нибудь. 2) Совокупность последовательных действий для достижения какого-либо … - ПРОЦЕСС в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
(от лат. processus - продвижение), 1) последовательная смена состояний стадий развития. 2) Совокупность последовательных действий для достижения какого-либо результата (например, … - ПРОЦЕСС
[от латинского processus прохождение, продвижение] 1) последовательная смена состояний, тесная связь закономерно следующих друг за другом стадий развития, представляющих непрерывное … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Энциклопедическом словарике:
ая, ое мат. Случайный, происходящий с вероятностью, которую невозможно предсказать. С. процесс. Стохас-тичность - свойство … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ
СТОХАСТ́ИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС, то же, что случайный процесс … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Большом российском энциклопедическом словаре:
СТОХАСТ́ИЧЕСКИЙ (от греч. stochastikos - умеющий угадывать), случайный, … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 16-ти", 25-30.10.1880 в С.-Петербурге, первый крупный процесс над членами "Нар. воли". Обвинение в подготовке покушений на имп. Александра II. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 14-ти", 24-28.9.1884 в С.-Петербурге над членами "Нар. воли". Обвинение в подготовке гос. переворота и покушений на имп. Александра II. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 32-х", в Сенате в 1863-65, по обвинению в сношениях с А.И. Герценом и Н.П. Огарёвым. Гл. обвиняемые Н.А. Серно- … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 193-х" ("Большой процесс"), 18.10.1877-23.1.1878 в С.-Петербурге, крупнейший полит. процесс в России 1870-х гг. над рев. народниками - участниками "хождения … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 17-ти", 28.3-5.4.1883 в С.-Петербурге над членами "Нар. воли" (5 чл., 2 агента Исполнит. к-та) по обвинению в подготовке покушений … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 50-ти", 21.2-14.3.1877 над членами группы "москвичей" (в т.ч. 14 рабочих, 16 женщин). 10 чел. приговорены к разл. срокам каторги, … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 12-ти", 1-9.11.1884 в Киеве над членами "Нар. воли". В.С. Панкратов приговорён к 20 годам каторги, остальные - к разл. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 27-ми", в C.-Петербурге в 1861- 1863 по делу нелегального изд-ва и 1-й Вольной типографии в Москве. П.Г. Заичневский, В.Д. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦЕСС 21-го", 26.5-5.6.1887 в С.-Петербурге (Г.А. Лопатин и др.), по обвинению в принадлежности к "Нар. воле" и убийстве жандармского подполк. … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 28-ми", 25.7-5.8.1879 в Одессе над рев. народниками (Д.А. Лизогуб, С.Ф. Чубаров, С.Я. Виттенберг и др.). Обвинение в принадлежности к … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
"ПРОЦ́ЕСС 20-ти", 9-15.2.1882 в С.-Петербурге над членами "Нар. воли" (11 чл., 9 агентов Исполнит. к-та). Обвинение в подготовке 8 покушений … - ПРОЦЕСС в Большом российском энциклопедическом словаре:
ПРОЦ́ЕСС (от лат. рrосеssus - продвижение), последоват. смена явлений, состояний в развитии чего-нибудь. Совокупность последоват. действий для достижения к.-л. результата … - ПРОЦЕСС в Популярном толково-энциклопедическом словаре русского языка:
-а, м. 1) Ход развития какого-л. явления; последовательная смена состояний в развитии чего-л. Исторический процесс. Необратимый процесс. Процесс воспитания. Процесс … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Тезаурусе русской деловой лексики:
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Новом словаре иностранных слов:
(гр. stochasis догадка) случайный, или вероятностный, напр, с. процесс - процесс, характер изменения которого во времени точно предсказать … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Словаре иностранных выражений:
[ случайный, или вероятностный, напр, с. процесс - процесс, характер изменения которого во времени точно предсказать … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Тезаурусе русского языка:
Syn: вероятностный, случайный Ant: закономерный, … - ПРОЦЕСС в Словаре синонимов Абрамова:
см. действие, дело, спор || вести … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в словаре Синонимов русского языка:
Syn: вероятностный, случайный Ant: закономерный, … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Полном орфографическом словаре русского языка.
- СТОХАСТИЧЕСКИЙ в Орфографическом словаре.
- ПРОЦЕСС в Словаре русского языка Ожегова:
ход, развитие какого-нибудь явления, последовательная смена состояний в развитии чего-нибудь П. роста. Творческий п. Производственный п. процесс! порядок разбирательства … - СТОХАСТИЧЕСКИЙ
(от греч. stochastikos - умеющий угадывать), случайный, … - «ПРОЦЕСС в Современном толковом словаре, БСЭ:
12-ти» , 1-9.11.1884 в Киеве над членами «Народной воли». Приговор: В. С. Панкратов к 20 годам каторги, остальные к различным … - ПРОЦЕСС в Толковом словаре русского языка Ушакова:
процесса, м. (латин. processus). 1. Ход, развитие какого-н. явления; последовательная закономерная смена состояний в развитии чего-н. Процесс ликвидации феодализма и … - СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС в Большом энциклопедическом словаре:
(вероятностный или стохастический), процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена …
Определение
X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T {\displaystyle X_{t}(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T} ,где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .
Терминология
Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».
Классификация
- Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
- Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
- Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
- Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
- Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
- Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
- Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
- Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями
, если для любого набора
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
{\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}
, где
n
>
2
{\displaystyle n>2}
, а
t
1
<
t
2
<
…
<
t
n
{\displaystyle t_{1}
- Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
- Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .
Траектория случайного процесса
Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .
