Лекция 5

Обобщённые функции

Введение

Обобщённые функции впервые в науку были введены Дираком в его квантово-механических исследованиях, в которых систематически использовалась, так называемая, d - функция .

Обобщённая функция является обобщением классического понятия функции.

Постановка краевых задач характеризуется тем, что их решения предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяют уравнению в каждой точке внутри области задания этого уравнения. Такие решения называются классическими, а постановка краевых задач – классической постановкой. Т.е., такая постановка предполагает, например, непрерывность правой части уравнения внутри области задания. Однако, в наиболее интересных задачах, эти правые части, характеризующие интенсивность внешних воздействий, имеют довольно сильные особенности. Поэтому, для таких задач классической постановки уже оказывается недостаточно. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от требования гладкости решения внутри области и вводить, так называемые, обобщённые решения . Но тогда встаёт вопрос, какие функции можно назвать решениями уравнений ? Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить понятие производной и, вообще, понятие функции, т.е. ввести, так называемые обобщённые функции.

Понятие обобщённых функций**

Давно в физике употребляются сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций. Простейшей сингулярной функцией является дельта-функция d (x - x 0) , она по определению физиков равна нулю всюду, кроме одной точки x 0 , в этой точке равна ¥ и обладает интегралом равным 1 .

Эти условия не совместимы с точки зрения классического определения функции и интеграла.

В конкретных задачах такие функции нужны только на промежуточном этапе, в окончательном ответе они либо вовсе отсутствуют, либо фигурируют в произведении с какой-либо достаточно хорошей функцией . Поэтому нет необходимости отвечать на вопрос – что такое сингулярная функция ? – сама по себе. Нам достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения сингулярной функции и хорошей функции . Например, на вопрос, что такое d - функция, достаточно указать, что для любой достаточно хорошей функцией j (x) имеет равенство

Иными словами, мы связываем с каждой сингулярной функциейфункционал , который ставит в соответствие этой сингулярной и каждой, достаточно хорошей функциям, некоторое вполне определённое число . Например, для d - функции d (x-x 0) , числом, которое ставится в соответствие каждой, достаточно хорошей функции j(x), есть значение j(x 0).

Таким образом, мы отождествляем сингулярную функцию с тем функционалом , о котором конкретно идёт речь и не задумываться об определении сингулярной функции. При этом, должен быть точно указан тот класс достаточно хороших функций, на котором задан этот функционал .

В эту схему также укладываются и обыкновенные интегрируемые функции: для каждой функции f (x) мы можем ответить на вопрос: чему равен интеграл от произведения f (x) на хорошую функцию. Таким образом, представление об обобщённых функциях, как о функционалах, охватывает как сингулярные, так и обыкновенные функции.

Определим понятие функции, которые мы назвали «достаточно хорошими».

Лекция № 17

Обобщенные функции

В различных вопросах анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз, и т.д. В ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле как произвольное правило, относящее каждому значению из области определения этой функции некоторое число
, оказывается недостаточным. Вот примеры.

Распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако если на прямой существуют точечные массы, то плотность такого распределения не может быть описана никакой обычной функцией.

Применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, мы сталкиваемся с невыполнимостью некоторых операций. Например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках, или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как обычно, т.е. как «обычную» функцию. Затруднений такого типа можно избежать, ограничиваясь рассмотрением одних только аналитических функций, что нежелательно.

Подобные затруднения, однако, были преодолены путем не сужения, а существенного расширения понятия функции. Основой для введения соответствующих определений нам служит понятие сопряженного пространства, рассмотренного выше.

Введение обобщенных функций (или распределений, по терминологии Л. Шварца) было вызвано не стремлением к возможно большему расширению понятий анализа, а совершенно конкретными задачами. В физике обобщенные функции использовались (на интуитивном уровне) до того, как была построена строгая математическая теория обобщенных функций.

Прежде чем переходить к точным определениям, изложим основную идею построения. Пусть – фиксированная функция на прямой, интегрируемая на каждом конечном интервале, и пусть – непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала (такие функции называются финитными). Каждой такой функции можно с помощью фиксированной функции сопоставить число

. (1)

Фактически, в силу финитности
интеграл берется по некоторому конечному интервалу. Иначе говоря, функцию можно рассматривать как функционал (линейный, в силу свойств интеграла) на некотором пространстве финитных функций. Однако функционалами вида (1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве. Например,
.

Таким образом, функции естественным образом включаются в некоторое более широкое множество – совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.

Запас функций можно выбирать различным образом; например, можно ограничиться непрерывными финитными функциями. Однако разумно подчинить допустимые функции , помимо непрерывности и финитности, еще и достаточно жестким условиям гладкости.

Теперь перейдем к точным определениям.

Пространство основных функций. Рассмотрим на прямой совокупность
всех финитных функций , имеющих непрерывные производные всех порядков, причем интервал, вне которого функция равна нулю, может быть различным для различных
. Совокупность всех таких функций образует, очевидно, линейное пространство с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа. Введем понятие сходимости в этом линейном пространстве.

Определение 1. Последовательность
элементов из называется сходящейся к функции , если

Линейное пространство с этой сходимостью мы будем называть пространством основных функций, а его элементы – основными функциями .

Нетрудно описать топологию в , которой подчиняется сходимость, сформулированная в определении 1. Эта топология порождается системой окрестностей нуля, каждая из которых задается конечным набором
непрерывных положительных функций и состоит из тех принадлежащих функций, которые при всех удовлетворяют неравенствам:

Необходимо доказать, что этой топологии действительно подчиняется описанная в определении 1 сходимость. (Докажите это!).

Обобщенные функции.

Определение 2. Обобщенной функцией, заданной на прямой
, называется всякий линейный непрерывный функционал
на пространстве основных функций . При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что
, если последовательность основных функций сходится при
к основной функции (в смысле определения 1).

Любая интегрируемая на любом конечном интервале функция порождает некоторую обобщенную функцию

. (1)

Это выражение есть линейный непрерывный функционал на . Такие обобщенные функции мы в дальнейшем будем называть регулярными , а все остальные, т.е. не представимые в виде (1) – сингулярными.

Приведем некоторые примеры сингулярных обобщенных функций.

Пример 1. «-функция», или функция Дирака:

.

Это – линейный непрерывный функционал на , т.е. по введенной выше терминологии, обобщенная функция. Этот функционал обычно записывают в виде

, (2)

понимая под
«функцию», равную нулю при всех
и обращающуюся в точке
в бесконечность так, что

.

Мы уже рассматривали ранее -функцию как функционал на пространстве всех непрерывных функций, определенных на некотором отрезке. Но рассмотрение -функции как функционала на имеет преимущества, например, позволяет для нее ввести понятие производной.

Пример 2. «Смещенная -функция». Пусть

.

Этот функционал естественно записать по аналогии с обозначением (2) в виде

.

Пример 3. «Производная -функции». Каждой поставим в соответствие число
. Далее мы выясним, почему этот линейный функционал естественно считать производной функционала, указанного в примере 1.

Пример 4. Рассмотрим функцию . Она не интегрируема ни на каком интервале, содержащем точку . Однако для каждой интеграл

существует и конечен в смысле главного значения. Действительно, главное значение по Коши имеет вид:

.

Сделав замену переменных на
, получим

где интеграл сходится уже абсолютно. Полученный функционал линеен и непрерывен.

Можно показать, что ни одна из приведенных в примерах 1 – 4 обобщенных функций не является регулярной.

Действия над обобщенными функциями. Для обобщенных функций, т.е. линейных непрерывных функционалов на , определены операции сложения и умножения на числа. При этом для регулярных обобщенных функций, т.е. «обычных» функций, сложение их как обобщенных функций (т.е. как линейных функционалов) совпадает с обычной операцией сложения функций.

Введем в пространстве обобщенных функций операцию предельного перехода.

Определение 3. Будем говорить, что последовательность обобщенных функций
сходится к обобщенной функции , если для любого выполнено соотношение

при .

Пространство обобщенных функций с этой сходимостью обозначим через
.

Если – бесконечно дифференцируемая функция, то естественно определить произведение на обобщенную функцию формулой

(

).

Все эти операции – сложение, умножения на числа и на бесконечно дифференцируемые функции – непрерывны в топологии пространства , или в смысле сходимости в (в смысле определения 1!).

Произведение двух обобщенных функций не вводится.

Примечание. Примеры, показывающие невозможность «естественных» нелинейных операций в пространстве обобщенных функций, построены в .

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства.

Пусть сначала – функционал на , определяемый некоторой непрерывно дифференцируемой функцией :

.

Его производной естественно назвать функционал , определяемый формулой

.

Интегрируя по частям и учитывая, что каждая основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, имеем:

.

Таким образом, мы получили для выражение, в котором производная функции не участвует. Эти соображения подсказывают определение.

Определение 4. Производной обобщенной функции называется функционал, определяемый формулой

.

Ясно, что функционал, определяемый этой формулой, линеен и непрерывен, т.е. представляет собой обобщенную функцию. Аналогично определяются вторая, третья и т.д. производные. Обозначая обобщенную функцию символом , мы будем обозначать ее производную символом .

Непосредственно из определения производной обобщенной функции вытекает справедливость следующих утверждений.

Это равносильно тому, что всякий сходящийся ряд, составленный из обобщенных функций, можно дифференцировать почленно любое число раз.

Пример 5. Если – регулярная (т.е. обычная) функция, производная которой существует и непрерывна, то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле.

Пример 6. Пусть – функция Хевисайда, т.е.

Эта функция определяет над линейный функционал

.

В соответствии с определением производной обобщенной функции имеем:

.

Таким образом, обобщенная производная функции Хевисайда есть -функция.

Пример 7. Из примеров 5 и 6 ясно, что если – регулярная функция, имеющая в точках
скачки
и дифференцируемая (в обычном смысле) в остальных точках, то производная от нее (как от обобщенной функции) представляет собой сумму обычной производной (в тех точках, где она существует) и выражения вида

.

Пример 8. Применив определение производной к -функции, получим, что эта производная представляет собой функционал, принимающий на каждой функции значение .

Пример 9. Рассмотрим ряд

. (3)

Его суммой служит функция, имеющая период
и определяемая на отрезке
формулами

Обобщенная производная от нее равна

. (4)

Это – некоторая обобщенная функция (применяя ее к любой финитной функции , мы всегда будем получать лишь конечное число отличных от нуля слагаемых). С другой стороны, дифференцируя ряд (3) почленно, мы получаем расходящийся ряд

.

Однако в смысле сходимости обобщенных функций этот ряд сходится (к выражению (4) ).

Приведем пример функции из , т.е. основной функции.

(5)

Эта функция финитна и бесконечно дифференцируема.

Утверждение 1. Пусть и – две различные непрерывные (а следовательно и локально интегрируемые) функции. Тогда существует такая функция , что

.

Доказательство. Положим
. Если – не тождественно равна нулю, то существует такое, что
. В силу непрерывности найдется интервал
, содержащий точку , такой, что сохраняет знак на этом интервале. Тогда взяв функцию (5) , имеем:

.

Таким образом, пространство (т.е. запаса основных функций ) достаточно для различения любых двух непрерывных функций.

Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций. Дифференциальные уравнения – одна из основных областей, где применяется теория обобщенных функций. Именно задачи, связанные с уравнениями, стимулировали развитие этой теории. В основном обобщенные функции применяются к уравнениям в частных производных.

Начнем с простейшего уравнения

,

(где – обобщенная функция), т.е. с задачи восстановления функции по ее производной. Начнем со случая, когда
.

Теорема 1. Только константы служат решениями (в классе обобщенных функций) уравнения

. (6)

Доказательство. Уравнение (6) эквивалентно уравнению

(7)

для любой основной функции . Но тем самым функционал уже задан на совокупности
тех основных функций, которые могут быть представлены как производные от других основных функций. Теперь необходимо выяснить, какими способами функционал может быть продолжен с совокупности на всё основное пространство .

Легко проверить, что основная функция
может быть представлена как производная от некоторой основной функции тогда и только тогда, когда выполняется условие

. (8)

Действительно, если
, то

.

С другой стороны, при выполнении условия (8) мы полагаем

.

Легко убедится в том, что
есть основная функция, так как она вместе с бесконечно дифференцируема и финитна в силу условия (8) .

Пусть теперь – фиксированная основная функция, обладающая свойством

.

Для любой основной функции можно написать равенство

,

где очевидно удовлетворяет условию (8) . Отсюда видно, что если задать значение искомого функционала на основной функции , то значение его на любой функции будет определено однозначно:

,

,

т.е. обобщенная функция есть постоянная , что и утверждалось. Теорема доказана.

Следствие 1. Если для двух обобщенных функций и выполнено равенство
, то
.

Рассмотрим теперь уравнение

где – обобщенная функция.

Теорема 2. Уравнение (9) при любом
имеет решение
. Это решение естественно назвать первообразной обобщенной функции , или неопределенным интегралом.

Доказательство. Уравнение (9) означает, что

для любой основной функции . Это равенство определяет значение функционала на всех основных функциях из , являющихся производными основных функций: существует решение уравнения (9) . В силу теоремы 1 первообразная определена с точностью до постоянного слагаемого.

Обобщения. Выше мы рассматривали обобщенные функции «одного действительного переменного», т.е. обобщенные функции на прямой. На основе тех же идей можно ввести обобщенные функции на ограниченном множестве (на отрезке, на окружности, и т.д.), обобщенные функции нескольких переменных, обобщенные функции комплексного аргумента.

Рассмотрим вкратце некоторые из указанных типов обобщенных функций.

Функции нескольких переменных. Рассмотрим в -мерном пространстве совокупность
функций
, имеющих частные производные всех порядков по всем аргументам и таких, что каждая из этих функций равна нулю вне некоторого параллелепипеда

Обобщения модели Хопфилда... целевой функции в форме функции Ляпунова. 3. Вывести энергетическую функцию сети... 16. Ассоциативная память. 17 . Приложения. Данный раздел...

Лекции по аналитической механике для студентов специальности «динамика и прочность машин» тема 1 основы аналитической механики лекция 1 введение предмет и задачи аналитической механики

Изложение

Случае, есть линейная форма обобщенных ускорений, а есть функция обобщенных координат и обобщенных скоростей. Поэтому система... рода на случай неконсервативных систем Лекция 17 . Обобщение уравнений Лагранжа 2-го рода на...

Лекция 1 Уравнения Максвелла и материальные уравнения для сплошных сред

Лекция

В Больцмановском приближении получаем выражения (16) (17 ) Лекция 5. Нормальные электромагнитные волны в диэлектриках, поляритоны...). Рассмотрим квантово-механическое обобщение уравнения Лондонов. Введем волновую функцию сверхпроводящих электронов (15 ...

Лекция

функции обобщением Лекция 17

Лекция 1 Введение в компьютерную графику Основные направления компьютерной графики

Лекция

Формулами: z=f(x,y) – описание с помощью функции , F(x,y,z)=0 – описание с помощью неявного... модель можно считать обобщением для некоторых рассмотренных выше... алгоритмов синтеза изображений. Лекция 17 Формирование изображений средствами современных...

Анализ обобщенных функций

Введение

Существуют многие физические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например, распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределения не может быть описана "обычной" функцией. Другой пример связан с определением производной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточный характер.

Определение. Основное пространство K m состоит из действительных функций j(t), называемыми основными функциями, имеющими непрерывные производные до порядка mвключительно, равными нулю вместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство K m является линейным.

Пример. Рассмотрим функцию

график которой приведен ниже

j 1

Эта функция принадлежит основному пространству K o , так как не существуют производные в точках t= aи t= b. Функция (график смотри ниже)

принадлежит пространству K m .

j 1

Если положить m= ¥для основного пространства K m , то полученное основное пространство обозначается К. Пусть

тогда, как легко проверить, j(t) ÎK.

1.Обобщенные функции

Определение. Обобщенной функцией f(t) (заданной на прямой (-¥ < t<¥)) называется всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Он может быть представлен в виде скалярного произведения

(f(t), j(t)) , j(t) ÎK(K m).

Всякая интегрируемая функция f(t) порождает обобщенную функцию, так как скалярное произведение

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которые не допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщенной функции. С этой целью рассмотрим последовательность функций

Так как интеграл Пуассона

то (1)

При n®¥функция d n (t) вытягивается до бесконечной высоты в точке t= 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычном понимании предел d n (t) при n®¥не существует. Предел

limd n (t) = d(t)

можно рассматривать как обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением

(2)

где j (t) – основная функция. Скалярное произведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций (jÎK). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).

Определим произведение обобщенной функции fна число lсоотношением

(lf, j) = l (f, j) (jÎK).

Сумма двух обобщенных функций f 1 , f 2 определим следующим образом

(f 1 + f 2 , j) = (f 1 , j) + (f 2 , j) (jÎK).

После этого множество обобщенных функций K" становится линейным пространством.

Определение. Две обобщенные функции f(t), g(t) ÎK" равны: f(t) = g(t), если для любой основной функции j (t)

(f, j) = (g, j) или (f– g, j) = 0.

Обобщенная функция f(t) равна нулю: f= 0, если для любой основной функции j (t)

Примеры обобщенных функций.

1. Пусть jÎK. Определим обобщенную функцию fс помощью функционала

Приведенная сумма конечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

2. Введенную ранее дельта-функцию d(t) определим следующим образом

(d(t), j(t)) = j(0).

Исходя из интегрального представления (2), имеем

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) (jÎK o).

Отметим, что функционал f, определенный на Kсоотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

для которой можно записать

является регулярной обобщенной функцией.

2.Действия над обобщенными функциями

Введем в пространстве обобщенных функций K" операцию предельного перехода. Последовательность

сходится к f, если для любого jÎKвыполнено следующее соотношение

(f n , j) ®(f, j)

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f"(t) регулярной обобщенной функции f(t) равна

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n– го порядка будет тогда определяться равенством

(f (n) (t), j(t) = (-1) n (f(t), j (n) (t)) ("nÎN, jÎK).

Это соотношение определяет производную n– го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

Из определения дельта – функции следует

d(t) + td"(t) = 0,

2d"(t) + t d""(t) = 0,

---------------------

nd (n-1) (t) + t d (n) (t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

t n d (n) (t) = (-1) n! d(t) nÎN.

Методом математической индукции можно показать, что

Легко также показать, что если a(t) ÎC m , то

a(t)d (m) (t – t o) = C o m a (t o) d (m) (t – t o) - C 1 m a" (t o) d (m-1) (t – t o) –

- . . . – (-1)C m m a (m) (t o) d(t – t o) .

Введем обобщенные функции t + и t - :

Можно вычислить производные

(t +)" = q(t), (t -)" = -q(-t),

2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z= x-t.

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние - математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции . Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя , (пространственную) плотность простого или двойного слоя , интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру , который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщенной производной были сформулированы в 1935 году С. Л. Соболевым . К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц , привлекший разработанную к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций . Соболев и Шварц являются создателями теории распределений - обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике .

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Формально обобщённая функция f {\displaystyle f} определяется как линейный непрерывный функционал (f , φ) {\displaystyle \left(f,\varphi \right)} над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций ): f: φ ↦ (f , φ) {\displaystyle f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi)} .

  Условие линейности: (f , α 1 φ 1 + α 2 φ 2) = α 1 (f , φ 1) + α 2 (f , φ 2) {\displaystyle \left(f,\alpha _{1}\varphi _{1}+\alpha _{2}\varphi _{2}\right)=\alpha _{1}\left(f,\varphi _{1}\right)+\alpha _{2}\left(f,\varphi _{2}\right)} .

  Условие непрерывности: если φ ν → 0 {\displaystyle \varphi _{\nu }\rightarrow 0} , то (f , φ ν) → 0 {\displaystyle \left(f,\varphi _{\nu }\right)\rightarrow 0} .

  Важным примером основного пространства является пространство - совокупность финитных -функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -сходятся.

  Действительно, в противном случае получилось бы противоречие:

  (x δ) ρ = 0 ⋅ ρ = 0 , {\displaystyle (x\delta)\rho =0\cdot \rho =0,} (x ρ) δ = 1 ⋅ δ = δ . {\displaystyle (x\rho)\delta =1\cdot \delta =\delta .}

  Впрочем, возможно определить умножение любых обобщённых функций, если снять достаточно жёсткое требование, чтобы сужение этой операции на множество непрерывных функций совпадало с обычным произведением. В частности, Ю. М. Широков построил некоммутативную алгебру обобщённых функций . Нынче в Западной Европе и Америке очень популярной (см., напр., список цитированных работ в ) является теория обобщённых функций Коломбо (одним из первоисточников которой является книга , для первоначального ознакомления с гораздо чаще используемой на практике т.н. "специальной" алгеброй Коломбо можно просмотреть параграф 8.5 из ). В рамках этой теории обобщённые функции являются классами эквивалентности некоторой фактор-алгебры. Преимуществом алгебры Коломбо является то, что она как ассоциативна, так и коммутативна. Умножение обобщённых функций Коломбо совпадает с обычным умножением при сужении на множество всех гладких (т.е., бесконечно непрерывно дифференцируемых) функций, несостыковка же с умножением непрерывных (но не гладких) функций разрешается при помощи введения понятия ассоциации (менее строгого, чем понятие эквивалентности). Также рассматриваемое умножение прекрасно согласуется со стандартными операциями классического анализа (напр., дифференцированием).

  Дифференцирование

  Пусть f ∈ D ′ (R n) {\displaystyle f\in D"(\mathbb {R} ^{n})} . Обобщённая (слабая) производная обобщённой функции ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} определяется равенством

  (∂ f ∂ x i , φ) = − (f , ∂ φ ∂ x i) . {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right).}

  Так как операция φ ↦ ∂ φ ∂ x i {\displaystyle \varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}} линейна и непрерывна из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} в D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} , то функционал, определяемый правой частью равенства, есть обобщённая функция.

  из есть слабый предел функций из D (R n) {\displaystyle D(\mathbb {R} ^{n})} . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.
• Любая обобщённая функция из D ′ (R n) {\displaystyle D"(\mathbb {R} ^{n})} бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).
• Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.
• Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения a f {\displaystyle af} , где a ∈ C ∞ (R n) {\displaystyle a\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} .
• Всякая обобщённая функция f {\displaystyle f} из S ′ (R n) {\displaystyle S"(\mathbb {R} ^{n})} или E ′ (R n) {\displaystyle E"(\mathbb {R} ^{n})} есть некоторая частная производная от непрерывной функции в R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
• Для любой обобщённой функции f {\displaystyle f} порядка N {\displaystyle N} с носителем в точке 0 существует единственное представление (f , φ) {\displaystyle (f,\;\varphi)} в виде линейной комбинации частных производных φ {\displaystyle \varphi } в нуле, с порядком меньшим либо равным N {\displaystyle N} .

Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).

Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция θ(x), определенная следующим образом (рис. 3.1):

Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.



Рис. 3.1. Функция Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ δ, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения δ-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину m, то его плотность

Отсюда следует, что дельта-функция δ (x) обладает свойствами



(3.1)

Свойства этой функции хорошо интерпретируются при рассмотрении фундаментального соотношения

(3.2)

справедливого для любой функции f(x), непрерывной при x = 0.

Заметим, что, строго говоря, δ(x) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (3.1 и 3.2). Но если интерпретировать последнее соотношение как функционал, т.е. как процесс придания функции f(x) значения f(0) то оно становится весьма интересным.

Запись в виде интеграла используется просто как удобная форма описания свойств этого функционала (линейность сдвиг, замена переменных и т.д.).

Таким образом, функцию δ(x) можно рассматривать как обычную функцию, удовлетворяющую всем формальным правилам интегрирования при условии, что все заключения относительно этой функции базируются на выражении (3.2), а не на каком-либо из ее отдельных свойств.

Дельта функцию можно рассматривать как предел



получаемый в результате использования основного соотношения



Следствием данного предела является тождество



Действительно,

Получился, таким образом, некоторый формализм в применении δ-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией θ(x) и функцией δ(x) существует связь



которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим некоторые свойства δ-функции.

Если f(t) не имеет разрывов в точке t, то



Гребенчатая функция

Ряд, состоящий из бесконечного числа δ-функций, сдвинутых относительно друг друга на равные расстояния



называется гребенчатой функцией. При a = 1 имеем:



Гребенчатая функция, как это видно из соотношения симметрична относительно преобразования Фурье:

.

Гребенчатая функция играет важную роль при описании процессов дискретизации сигналов. Процедуру дискретизации (взятие выборок) удобно рассматривать как умножение сигнала f(x) на заданную периодическую последовательность тактовых импульсов, задаваемую функцией Ша(x).