Что называется последовательностью. Последовательность последовательный

Последовательность

После́довательность

сущ. , ж. , употр. сравн. часто

Морфология: (нет) чего? после́довательности , чему? после́довательности , (вижу) что? после́довательность , чем? после́довательностью , о чём? о после́довательности ; мн. что? после́довательности , (нет) чего? после́довательностей , чему? после́довательностям , (вижу) что? после́довательности , чем? после́довательностями , о чём? о после́довательностях

1. Последовательностью называют ряд, в котором один элемент располагается следом за другим.

Непрерывная последовательность. | Хронологическая последовательность. | Вспомнить последовательность событий. | Последовательность в рассуждениях. | Последовательность в поступках.

2. В математике, информатике последовательностью называют ряд чисел, информационных элементов определённого типа.

Бесконечная числовая последовательность. | Предел последовательности. | Структура - это объект, состоящий из последовательности именованных членов, каждый член может быть произвольного типа.

Толковый словарь русского языка Дмитриева . Д. В. Дмитриев. 2003 .

Синонимы :

Смотреть что такое "последовательность" в других словарях:

Последовательность это набор элементов некоторого множества: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности; для любого… … Википедия

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова

Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия

Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь

Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии

Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь

Книги

Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им…

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова

Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко . Элементы называются членами последовательности, - первым, - вторым, - общим (-м) членом последовательности.

Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности через его номер . Например, если

Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:

Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера (то, что неограниченно возрастает, записывается в виде и читается: « стремится к бесконечности»).

Рассмотрим последовательность с общим членом : , , , …, , …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше , тем меньше отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.

Другой пример: - определяет последовательность

Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.

Рассмотрим еще пример: . Если представить в виде

то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.

Дадим определение предела последовательности. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно указать такой номер , что при всех выполняется неравенство .

Если есть предел последовательности , то пишут , или ( - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).

Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число в интервал (рис. 1). Число есть предел последовательности , если независимо от малости интервала все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Для рассмотренной последовательности в -окрестность точки нуль при попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при - все члены последовательности, кроме первых ста.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: . Ее члены попеременно равны и и не стремятся ни к какому пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена, т.е. существуют такие числа и , что все члены последовательности удовлетворяют условию . Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:

«Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». Ж. Фурье

Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности равен тогда, и только тогда, когда представимо в виде суммы , где - бесконечно малая.

Рассмотренные последовательности являются бесконечно малыми. Последовательность , как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую , и потому предел этой последовательности равен 1.

Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность называется бесконечно большой, если последовательность бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность записывают в виде , или , и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:

Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.

Рассмотрим последовательности и . Можно определить последовательности с общими членами , , и (если ) . Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности и сходящиеся, то сходятся также последовательности , , , и имеют место равенства:

В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие .

Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом и невозрастающие. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше , либо равно . В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число - основание натуральных логарифмов:

Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен , то число должно удовлетворять равенству . Решая это уравнение, получаем .

Последовательность как качество личности – склонность неотступно следовать чему-либо, неуклонно проводить в жизнь что-либо, осуществлять действия, которые непрерывно следуют одно за другим.

Один знатный купец, прослышав об удивительных способностях набожного старца, пришел к нему в пещеру с просьбой: «О, достопочтенный праведник! Напиши для моей семьи какое-нибудь доброе пожелание. Я очень люблю своих детей и внуков. И я хочу, чтобы они были счастливы. Дай нам свой завет». Благочестивый старец взял бумагу, перо — и купец тут же получил то, о чем спрашивал. Пожелание было очень кратким: «Умер дед, умер сын, умер внук». — Что ты такое здесь написал, сумасшедший?! – замахал руками разгневанный купец. – Разве я пришел к тебе за проклятиями? — Ты ничего не понял, — ответил праведник. – Все мы когда-нибудь вернемся к Отцу Небесному. Но проклятием было бы, если б я написал: «Умер внук, умер сын, умер дед». А эта последовательность правильная. Если вы уйдете в таком порядке, это будет счастьем.

Последовательный человек – герой нашего времени, в котором как никогда высоко ценятся практически-аналитический склад ума, здоровый прагматизм и реализм. Работодатели, представляющие крупные организации с амбициозными целями и задачами, отдают предпочтение людям, у которых последовательность стала ярко выраженным качеством личности. В претендентах их прельщает надежность, предсказуемость, рассудительность, решительность и убежденность в своих взглядах. Любому руководителю будет по душе уверенный в себе человек, который выверенными, отточенными и непоколебимыми действиями последовательно кратчайшим путем выполняет поставленную перед ним задачу.

Последовательность – родная сестра целеустремленности – способности решительно, упорно и настойчиво стремиться к реализации своей цели. Последовательный человек не уронит цель, он знает свой путь и никуда с него не свернет. Путь к высокой цели может быть извилист и долог. Стороннему наблюдателю могут показаться абсурдными какие-то отдельные действия последовательности. А «ларчик просто открывается» — она четко видит конечный результат своих действий. Отдельные действия складываются в логическую цепочку, приводящую последовательность к задуманной цели.

Последовательность – любимица цели, ей внутренне присущи постоянство и сосредоточенность на каком-то виде работ, без которых невозможно достичь сколько-нибудь достойной цели. Последовательный человек непрерывно, не отвлекаясь от поставленной задачи, выполняет до конца одно дело и только затем переходит к другому. Он точно и правильно распределяет время по этапам и периодам, при этом постоянно обдумывая, где и как можно сэкономить время.

Зачастую люди заигрывают с последовательностью и, не будучи ее настоящим обладателем, тут же получают от жизни поучительный урок за ее иллюзию. Необдуманно и скоропалительно приняв какое-то решение вчера, они уже утром не находят себе места – быть непоследовательным стыдно и неавторитетно. Поэтому вчерашнее решение, каким бы глупым оно ни было, приходится неохотно выполнять, чтобы не «уронить честь мундира». Но, вдруг, выясняется его противоречивость и вредность для дела. Включать упрямство? Себе еще больше навредить. Пойти на попятную? Будут говорить, что у него семь пятниц на неделе. И начинается шараханье в мыслях, действиях и поступках. Человека лихорадит страх перед наказанием, но и перед начальством невыгодно обнажать фрагментарность своей натуры. В итоге лжепретенденту на последовательность дорого обходится иллюзия своей личностной целостности.

Последовательность всегда высоко котировалась общественным мнением, считалась одним из атрибутов справедливости, поэтому люди унаследовали от своих далеких предков стремление выглядеть последовательными в своих словах и делах. Она всегда ассоциировалась с интеллектуальностью, силой, логикой, рациональностью, стабильностью и честностью. Как сказал великий английский физик Майкл Фарадей, последовательность порой одобряется в большей степени, чем правота. Когда Фарадея как-то после лекции спросили, не считает ли он, что ненавидимый им ученый соперник всегда неправ, Фарадей сердито посмотрел на спрашивающего и ответил: «Он не до такой степени последователен». Непоследовательный человек – невыгодный социальный статус как символ легкомыслия, непостоянства и ненадежности. С ним никто не хочет иметь дела. Вполне понятно, почему люди опасаются прослыть непоследовательными – это прямая угроза оказаться на общественных задворках.

Страх быть непоследовательным – удивительно интересный и привлекательный объект манипуляцией людьми. Последовательность, как большое человеческое достоинство, как прекрасное качество личности, становится крючком, за который манипуляторы цепляют люди ради достижения своих корыстных целей. Дело в том, что атрибутом последовательности является автоматизм, определенная машинальность в выполнении своих действий. В целом автоматизм рационален и полезен, позволяя человеку не задумываться каждый раз над каждым своим действием и, тем самым, экономить массу времени.

Роберт Б. Чалдини заметил: «Поскольку нам обычно полезно быть последовательными, мы поддаемся искушению быть таковыми автоматически, даже в ситуациях, когда это неблагоразумно. Если последовательность проявляется бездумно, она может быть гибельной… Автоматическое стремление к последовательности является своего рода щитом, выставляемым мышлением. Неудивительно, что этот механизм интенсивно используется теми, кто предпочитает, чтобы мы реагировали на их требования не задумываясь. Для подобного рода эксплуататоров наше автоматическое стремление к последовательности является золотой жилой. Они умеют так ловко заставить нас проигрывать свои «магнитофонные записи последовательности», когда им это выгодно, что мы даже не осознаем, что нас поймали. В великолепно отточенном стиле джиу-джитсу такие люди выстраивают взаимоотношения с нами таким образом, что наше собственное желание быть последовательным приносит им прямую выгоду».

Рассмотрим прием манипуляторов «Начинай с малого». Однажды сказав «Да», подтвердив свое согласие, в дальнейшем человек становится более уступчивым и сговорчивым. Уступив в мелочах, следующую просьбу, если она будет логическим продолжением первой просьбы, человек выполняет, отталкиваясь только от принципа последовательности. «Мы уезжаем в отпуск,- говорит сосед, — у нас к Вам огромная просьба – поливать цветы в квартире. Вот ключи». Вы даете согласие и чувствуете себя бескорыстным человеком, чуть ли не альтруистом. Спустя полгода он опять обращается к Вам: «Мы улетаем с женой на две недели в Тайланд. Опять к Вам огромная просьба – поливать цветы и поухаживать за нашим песиком. Его надо утром и вечером выгуливать, а корм мы Вам оставляем». Вам уже неудобно быть непоследовательным, можно, конечно, отказаться, но Вы уже понимаете, как неприятно потом будет на душе, ведь Вы – альтруист, надо соответствовать высокому значению этого слова.

К приемам манипуляции на стремлении людей быть последовательными можно также отнести письменное согласие. Большинство людей, подписываясь под каким-либо заявлением или анкетой, в дальнейшем автоматически начинают защищать то, что там было прописано, даже если подпись ставилась на «автопилоте», машинально или под влиянием обстоятельств.

«Хорошо» себя зарекомендовал прием «публичное заявление о хорошем положении дел». Когда с людей хотят выудить деньги на благотворительность, начинают издалека: например с вопросов о финансовом состоянии фирмы или самого человека. «Как ваша фирма чувствует себя на рынке? Считаете ли вы себя преуспевающим и активным человеком?». Когда люди расслабляются, идет атака: «Согласитесь ли вы помочь нуждающимся?» Людям, заявившим о хорошем состоянии дел, уже тяжело быть непоследовательными. Манипуляторы довольно потирают руки и радуются, что люди наделены таким качеством личности как «кормилица ты наша, Последовательность!»

Петр Ковалев

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Последовательность - это набор элементов некоторого множества:

для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе - отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
последовательности элементов метрического пространства
последовательности элементов функционального пространства
последовательности состояний систем управления и автоматов .

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество $X$ элементов произвольной природы. | Всякое отображение $f\colon\mathbb{N}\to X$ множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ в заданное множество $X$ называется последовательностью (элементов множества $X$ ).

Образ натурального числа $n$ , а именно, элемент $x_n=f(n)$ , называется $n$ -ым членом или элементом последовательности , а порядковый номер члена последовательности - её индексом.

Связанные определения

Подмножество $f\left[\mathbb{N}\right]$ множества $X$ , которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности : пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.

Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность! Например, точка $a\in X$ как одноточечное подмножество $\{a\}\subset X$ является носителем стационарной последовательности вида $a,a,a,\dots$ .

Любое отображение множества $\mathbb{N}$ в себя также является последовательностью.

В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности .

Обозначения

Последовательности вида

$x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

$(x_n)$ или $(x_n)_{n=1}^{\infty}$

иногда используются фигурные скобки:

$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

$(x_n)_{n=1}^N$ ,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

Напишите отзыв о статье "Последовательность"

Примечания

Литература

Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. - М .: Педагогика , 1985. - С. 242-245. - 352 с.

Последовательности и ряды

Последовательности

Ряды, основное

Числовые ряды (действия с числовыми рядами)

Функциональные ряды

Другие виды рядов

Признаки сходимости

Отрывок, характеризующий Последовательность

В числе перебираемых лиц для предмета разговора общество Жюли попало на Ростовых.
– Очень, говорят, плохи дела их, – сказала Жюли. – И он так бестолков – сам граф. Разумовские хотели купить его дом и подмосковную, и все это тянется. Он дорожится.
– Нет, кажется, на днях состоится продажа, – сказал кто то. – Хотя теперь и безумно покупать что нибудь в Москве.
– Отчего? – сказала Жюли. – Неужели вы думаете, что есть опасность для Москвы?
– Отчего же вы едете?
– Я? Вот странно. Я еду, потому… ну потому, что все едут, и потом я не Иоанна д"Арк и не амазонка.
– Ну, да, да, дайте мне еще тряпочек.
– Ежели он сумеет повести дела, он может заплатить все долги, – продолжал ополченец про Ростова.
– Добрый старик, но очень pauvre sire [плох]. И зачем они живут тут так долго? Они давно хотели ехать в деревню. Натали, кажется, здорова теперь? – хитро улыбаясь, спросила Жюли у Пьера.
– Они ждут меньшого сына, – сказал Пьер. – Он поступил в казаки Оболенского и поехал в Белую Церковь. Там формируется полк. А теперь они перевели его в мой полк и ждут каждый день. Граф давно хотел ехать, но графиня ни за что не согласна выехать из Москвы, пока не приедет сын.
– Я их третьего дня видела у Архаровых. Натали опять похорошела и повеселела. Она пела один романс. Как все легко проходит у некоторых людей!
– Что проходит? – недовольно спросил Пьер. Жюли улыбнулась.
– Вы знаете, граф, что такие рыцари, как вы, бывают только в романах madame Suza.
– Какой рыцарь? Отчего? – краснея, спросил Пьер.
– Ну, полноте, милый граф, c"est la fable de tout Moscou. Je vous admire, ma parole d"honneur. [это вся Москва знает. Право, я вам удивляюсь.]
– Штраф! Штраф! – сказал ополченец.
– Ну, хорошо. Нельзя говорить, как скучно!
– Qu"est ce qui est la fable de tout Moscou? [Что знает вся Москва?] – вставая, сказал сердито Пьер.
– Полноте, граф. Вы знаете!
– Ничего не знаю, – сказал Пьер.
– Я знаю, что вы дружны были с Натали, и потому… Нет, я всегда дружнее с Верой. Cette chere Vera! [Эта милая Вера!]
– Non, madame, [Нет, сударыня.] – продолжал Пьер недовольным тоном. – Я вовсе не взял на себя роль рыцаря Ростовой, и я уже почти месяц не был у них. Но я не понимаю жестокость…
– Qui s"excuse – s"accuse, [Кто извиняется, тот обвиняет себя.] – улыбаясь и махая корпией, говорила Жюли и, чтобы за ней осталось последнее слово, сейчас же переменила разговор. – Каково, я нынче узнала: бедная Мари Волконская приехала вчера в Москву. Вы слышали, она потеряла отца?
– Неужели! Где она? Я бы очень желал увидать ее, – сказал Пьер.
– Я вчера провела с ней вечер. Она нынче или завтра утром едет в подмосковную с племянником.
– Ну что она, как? – сказал Пьер.
– Ничего, грустна. Но знаете, кто ее спас? Это целый роман. Nicolas Ростов. Ее окружили, хотели убить, ранили ее людей. Он бросился и спас ее…
– Еще роман, – сказал ополченец. – Решительно это общее бегство сделано, чтобы все старые невесты шли замуж. Catiche – одна, княжна Болконская – другая.
– Вы знаете, что я в самом деле думаю, что она un petit peu amoureuse du jeune homme. [немножечко влюблена в молодого человека.]
– Штраф! Штраф! Штраф!
– Но как же это по русски сказать?..

Когда Пьер вернулся домой, ему подали две принесенные в этот день афиши Растопчина.
В первой говорилось о том, что слух, будто графом Растопчиным запрещен выезд из Москвы, – несправедлив и что, напротив, граф Растопчин рад, что из Москвы уезжают барыни и купеческие жены. «Меньше страху, меньше новостей, – говорилось в афише, – но я жизнью отвечаю, что злодей в Москве не будет». Эти слова в первый раз ясно ыоказали Пьеру, что французы будут в Москве. Во второй афише говорилось, что главная квартира наша в Вязьме, что граф Витгснштейн победил французов, но что так как многие жители желают вооружиться, то для них есть приготовленное в арсенале оружие: сабли, пистолеты, ружья, которые жители могут получать по дешевой цене. Тон афиш был уже не такой шутливый, как в прежних чигиринских разговорах. Пьер задумался над этими афишами. Очевидно, та страшная грозовая туча, которую он призывал всеми силами своей души и которая вместе с тем возбуждала в нем невольный ужас, – очевидно, туча эта приближалась.